Uma astronauta cuja altura h é 1,70 m flutua “com os pés para baixo” em um ônibus espacial em órbita a uma distância r= 6,77 times 10^6 m do centro da Terra. Qual é a diferença entre a aceleração gravitacional dos pés e a aceleração da cabeça da astronauta?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que uma astronauta de altura h = 1,70 m flutua “com os pés para baixo” a uma distância r = 6,77times10^6 m do centro da Terra. A gente precisa achar a diferença entre a aceleração gravitacional nos pés e na cabeça. O conteúdo aqui é Gravitação Universal: a fórmula de aceleração é
g(r) = GMr^2,
onde GM é a constante gravitacional da Terra. Vamos usar isso, mais r e h.

Passo 2

Primeiro, a gravidade nos pés (distância r) é
gpés = GMr^2, é
porque a força gravitacional é F = tfracGMmr^2 e, dividindo por m, vira aceleração.

Passo 3

Na cabeça, a distância é r+h, então
gcabeça = GM(r + h)^2 ç

Passo 4

A diferença que queremos é
De<a g ;=; gpés ;-; gcabeça ;=; GMr^2;-;GM(r + h)^2 éç

Passo 5

Como hll r, dá pra usar a aproximação binomial:
l(1 + tfrachrr)^-2 approx 1 - 2,tfrachr
Substituindo em De<a g, a conta se simplifica para
De<a g approx 2,GM,hr^3

Passo 6

Agora é só colocar os números:
GM = 3,986times10^14,m^3/s^2, r = 6,77times10^6,m, h = 1,70,m
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De<a g approx 2,(3,986times10^14),(1,70)(6,77times10^6)^3 approx 4,4times10^-6,m/s^2

Resposta

De<a g approx 4,4times10^-6,m/s^2

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