O grande radiotelescópio de Arecibo “é capaz de detectar um sinal que deposite em toda a superfície da Terra uma potência de apenas um pW”. Se a potência irradiada pelo nosso sol for de 4.113 times 10^26 W, determine a distância (em anos-luz) que deve estar uma estrela semelhante ao sol para que chegue na Terra uma intensidade luminosa tal que se fosse distribuída em toda a superfície resultaria em uma potência de apenas 1 pW. Utilize 4 algarismos significativos, 299792458 m / s para a velocidade da luz, e 6369.1 km para o raio da Terra.
Answer:
1.365 e 1

Passo 1

O enunciado pede para determinar a que distância (em anos-luz) uma estrela com potência 4,113times10^26,W deve estar para que a intensidade luminosa recebida na Terra, distribuída por toda a sua superfície, resulte numa potência total de apenas 1,pW. O conteúdo envolve a lei do inverso do quadrado da distância e cálculo de área de superfície esférica, usando a potência do Sol, o raio da Terra e a conversão de metros para anos-luz.

Passo 2

Na teoria da radiação de corpos puntiformes, a intensidade (fluxo) a uma distância d é dada pela lei do inverso do quadrado:
f=L4pi d^2
onde L é a luminosidade da fonte.

Passo 3

A potência total recebida pela Terra é o fluxo multiplicado pela área da sua superfície esférica. A área da superfície da Terra é
A=4pi RE^2
com RE=6369,1,km=6,3691times10^6,m.

Passo 4

Como queremos que Prec=1times10^-12,W seja distribuído por A, temos
Prec=f,ARightarrow f=PrecA

Passo 5

Igualando os fluxos na distância d e na superfície da Terra:
L4pi d^2=Prec4pi RE^2Rightarrow d=REraizLPrec

Passo 6

Substituindo os valores em metros e watts:
d=6,3691times10^6,mtimesraiz4,113times10^26,W1times10^-12,W

Passo 7

Calculando a raiz e a multiplicação:
raiz4,113times10^261times10^-12=raiz4,113times10^38approx2,028times10^19
dapprox6,3691times10^6times2,028times10^19=1,292times10^26,m

Passo 8

Para converter metros em anos-luz, usamos
1,ly=ctimes1,ano=2,99792458times10^8,m/stimes(365times24times3600),sapprox9,4607times10^15,m

Passo 9

Por fim,
d=1,292times10^26,m9,4607times10^15,m/lyapprox1,365times10^10,ly
Mantendo 4 algarismos significativos.

Resposta

1.365times10^10,ly

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