Um astronauta no espaço livre de gravidade está girando circularmente uma massa presa ao final de um cordão de comprimento R, com velocidade angular constante omega. Escreva a segunda Lei de Newton em coordenadas polares e determine a tensão sobre o cordão. ( R: T=m R omega^2=m v^2R )

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um astronauta no espaço sem gravidade, girando uma massa presa no final de um cordão de comprimento com uma velocidade angular constante . A gente precisa usar a segunda Lei de Newton em coordenadas polares para descobrir qual é a tensão no cordão. Para isso, vamos precisar entender como aplicar a segunda Lei de Newton nesse sistema e trabalhar com as fórmulas de força centrípeta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a segunda Lei de Newton. Ela diz que a força resultante sobre um objeto é igual à massa dele multiplicada pela aceleração: . Como estamos trabalhando em coordenadas polares, precisamos considerar os componentes radial e angular das forças.

Passo 3

No caso da massa girando em círculo, a aceleração que interessa é a centrípeta, que aponta para o centro do movimento circular. A aceleração centrípeta é dada por , onde é o raio da trajetória e é a velocidade angular.

Passo 4

A única força atuando na direção radial é a tensão T = m ac do cordão, que está puxando a massa para o centro. Não há outras forças porque estamos no espaço sem gravidade. Assim, aplicando a segunda Lei de Newton na direção radial temos:

Passo 5

Substituindo a expressão da aceleração centrípeta na equação, temos:
T = m R omega^2

Passo 6

Outra forma de expressar a velocidade angular T = m v^2R é relacionando com a velocidade linear através de . Então, podemos reescrever a tensão também como:

Resposta

A tensão no cordão é dada por .

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