Suponha uma partícula de massa m e que se move sob ação de uma força F=m e^-b t. Obtenha x(t) se a partícula estava inicialmente em repouso na origem. ( R: v(t)=1b-e^-b tb ; r(t)=e^-b tb^2+tb-1b^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula com massa que está sendo empurrada por uma força . O que queremos descobrir é a posição da partícula em função do tempo, ou seja, . Para resolver isso, vamos usar conceitos de física como a segunda lei de Newton e integrais para encontrar a velocidade e depois a posição. Vamos precisar lembrar como integrar funções exponenciais e aplicar condições iniciais.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a segunda lei de Newton, que diz que F = m dvdt , onde m e^-b t = m dvdt é a aceleração. Sabemos que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, então temos:
e^-b t = dvdt
Substituindo a força dada:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por :

Passo 3

Agora, para encontrar a velocidade integral e^-b t dt = integral dvdt dt , precisamos integrar a equação em relação ao tempo:
-1b e^-b t + C
A integral do lado esquerdo é:
v(t) = -1b e^-b t + C
E a integral do lado direito é simplesmente . Então temos:

Passo 4

Agora, usamos a condição inicial. Sabemos que a partícula estava inicialmente em repouso, ou seja, 0 = -1b e^0 + C . Substituindo t = 0 na equação da velocidade:
0 = -1b + C
v(t) = 1b - 1b e^-b t
Então, .
Portanto, a equação da velocidade fica:

Passo 5

Agora que temos a velocidade, vamos encontrar a posição x(t) = integral v(t) dt integrando a velocidade em relação ao tempo:
x(t) = integral ( 1b - 1b e^-b t ) dt
Substituindo x(t) = 1b t + 1b^2 e^-b t + D :
Integrando termo a termo:

Passo 6

Usamos a condição inicial para encontrar a constante de integração 0 = 1b cdot 0 + 1b^2 e^0 + D . Sabemos que a partícula estava na origem no tempo 0 = 1b^2 + D , então x(t) = 1b t + 1b^2 e^-b t - 1b^2 :
Então, .
Assim, a equação da posição fica:

Resposta

A posição da partícula em função do tempo é:
x(t) = e^-b tb^2 + tb - 1b^2

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