Suponha uma partícula de massa m e que se move sob ação de uma força
. Obtenha
se a partícula estava inicialmente em repouso na origem. (
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula com massa
que está sendo empurrada por uma força
. O que queremos descobrir é a posição da partícula em função do tempo, ou seja,
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de física como a segunda lei de Newton e integrais para encontrar a velocidade e depois a posição. Vamos precisar lembrar como integrar funções exponenciais e aplicar condições iniciais.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a segunda lei de Newton, que diz que
, onde
é a aceleração. Sabemos que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, então temos:
Substituindo a força dada:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por
:
Passo 3
Agora, para encontrar a velocidade
, precisamos integrar a equação em relação ao tempo:
A integral do lado esquerdo é:
E a integral do lado direito é simplesmente
. Então temos:
Passo 4
Agora, usamos a condição inicial. Sabemos que a partícula estava inicialmente em repouso, ou seja,
. Substituindo t = 0 na equação da velocidade:
Então,
.
Portanto, a equação da velocidade fica:
Passo 5
Agora que temos a velocidade, vamos encontrar a posição
integrando a velocidade em relação ao tempo:
Substituindo
:
Integrando termo a termo:
Passo 6
Usamos a condição inicial para encontrar a constante de integração
. Sabemos que a partícula estava na origem no tempo
, então
:
Então,
.
Assim, a equação da posição fica:
Resposta
A posição da partícula em função do tempo é: