Mostre que, se
é um vetor qualquer que depende do tempo (por exemplo, a velocidade de uma partícula) mas que possui magnitude constante, então
é ortogonal a
. Mostre o inverso, se
é ortogonal a
, então
é constante. Sugestão
considere a derivada de
. Esse é um resultado muito útil. Ele explica por que, em coordenadas polares bidimensionais,
deve estar na direção de
e vice-versa Ele também mostra que a velocidade de uma partícula carregada em um campo magnético é constante, desde que a aceleração seja perpendicular à velocidade.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um vetor
que depende do tempo, como a velocidade de uma partícula, e queremos mostrar duas coisas:
- Se a magnitude de
é constante, então a derivada de em relação ao tempo, , é ortogonal a . - Se
é ortogonal a , então a magnitude de é constante.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente derivadas de vetores e propriedades de vetores ortogonais.
Passo 2
Primeiro, assumimos que a magnitude de
é constante. Ou seja,
. Queremos mostrar que
é ortogonal a
.
Vamos considerar a magnitude ao quadrado do vetor:
Como a magnitude é constante, a derivada dessa expressão em relação ao tempo deve ser zero:
Aplicando a regra do produto para derivadas de vetores:
Dividindo ambos os lados por 2:
Isso mostra que o produto escalar entre
e
é zero, ou seja, eles são ortogonais.
Passo 3
Agora, vamos mostrar o inverso: se
é ortogonal a
, então a magnitude de
é constante.
Sabemos que
é ortogonal a
, então:
Vamos novamente considerar a magnitude ao quadrado do vetor:
Derivando em relação ao tempo:
Como derivada de
é zero, isso significa que
é constante. Portanto, a magnitude de
é constante.
Resposta
Mostramos que se a magnitude de
é constante, então
é ortogonal a
, e vice-versa. Assim, as duas afirmações do exercício estão comprovadas.