Mostre que, se v(t) é um vetor qualquer que depende do tempo (por exemplo, a velocidade de uma partícula) mas que possui magnitude constante, então dotv(t) é ortogonal a v(t). Mostre o inverso, se v(t) é ortogonal a v(t), então |v(t)| é constante. Sugestão Longrightarrow considere a derivada de v^2. Esse é um resultado muito útil. Ele explica por que, em coordenadas polares bidimensionais, d rd t deve estar na direção de phi e vice-versa Ele também mostra que a velocidade de uma partícula carregada em um campo magnético é constante, desde que a aceleração seja perpendicular à velocidade.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um vetor v(t) que depende do tempo, como a velocidade de uma partícula, e queremos mostrar duas coisas:
  1. Se a magnitude de v(t) é constante, então a derivada de v(t) em relação ao tempo, dotv(t), é ortogonal a v(t).
  2. Se dotv(t) é ortogonal a v(t), então a magnitude de v(t) é constante.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente derivadas de vetores e propriedades de vetores ortogonais.

Passo 2

Primeiro, assumimos que a magnitude de v(t) é constante. Ou seja, |v(t)| = constante. Queremos mostrar que dotv(t) é ortogonal a v(t).
Vamos considerar a magnitude ao quadrado do vetor:
|v(t)|^2 = v(t) cdot v(t)
Como a magnitude é constante, a derivada dessa expressão em relação ao tempo deve ser zero:
ddt(v(t) cdot v(t)) = 0
Aplicando a regra do produto para derivadas de vetores:
2 v(t) cdot dotv(t) = 0
Dividindo ambos os lados por 2:
v(t) cdot dotv(t) = 0
Isso mostra que o produto escalar entre v(t) e dotv(t) é zero, ou seja, eles são ortogonais.

Passo 3

Agora, vamos mostrar o inverso: se dotv(t) é ortogonal a v(t), então a magnitude de v(t) é constante.
Sabemos que dotv(t) é ortogonal a v(t), então:
v(t) cdot dotv(t) = 0
Vamos novamente considerar a magnitude ao quadrado do vetor:
|v(t)|^2 = v(t) cdot v(t)
Derivando em relação ao tempo:
ddt(v(t) cdot v(t)) = 2 v(t) cdot dotv(t) = 0
Como derivada de |v(t)|^2 é zero, isso significa que |v(t)|^2 é constante. Portanto, a magnitude de v(t) é constante.

Resposta

Mostramos que se a magnitude de v(t) é constante, então dotv(t) é ortogonal a v(t), e vice-versa. Assim, as duas afirmações do exercício estão comprovadas.

Exercícios relacionados