A posição de uma partícula em movimento é dada por r(t)=x b cos (omega t)+y c sin (omega t), onde b , c e omega são constantes. Descreva a órbita da partícula. ( R: Trajetória é uma elipse que corta os eixos x e y, respectivamente, em b e c. O movimento ocorre no sentido antihorário. Lembrete: para a elipse, teremos: x^2b^2+y^2c^2=1 )

Passo 1

Então, a gente tem uma partícula que está se mexendo no plano, e a posição dela em qualquer tempo é dada por . Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o caminho que essa partícula está seguindo, ou seja, como é a órbita dela. Para isso, vamos usar um pouco de matemática básica e conceitos de geometria das curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada parte da equação representa. A posição é composta por duas partes: uma na direção e outra na direção . Isso significa que a partícula está se movendo tanto no eixo quanto no eixo .

Passo 3

Vamos chamar as componentes de x(t) = b cos (omega t) e y(t) = c sin (omega t) separadamente:
Aqui, e são constantes que vão determinar até onde a partícula se move nos eixos e , respectivamente, enquanto é a frequência angular da movimentação.

Passo 4

Para encontrar a relação entre cos^2 (omega t) + sin^2 (omega t) = 1 e , vamos eliminar o tempo das duas equações. Sabemos que:
Isso é uma identidade trigonométrica básica que sempre vale para qualquer ângulo.

Passo 5

Vamos isolar cos (omega t) = xb e sin (omega t) = yc das equações de e :
Agora, substituímos essas expressões na identidade trigonométrica mencionada.

Passo 6

Substituindo na identidade:
(xb)^2 + (yc)^2 = 1
Essa é a equação padrão de uma elipse, onde e são os semieixos nas direções e , respectivamente.

Passo 7

Além disso, observando as funções cosseno e seno, percebemos que conforme aumenta, também aumenta, o que faz com que a partícula se mova no sentido anti-horário ao redor da elipse.

Resposta

A órbita da partícula é uma elipse que intercepta os eixos x^2b^2 + y^2c^2 = 1 e nos pontos e , respectivamente. O movimento ocorre no sentido antihorário. A equação da trajetória é:

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