Um astronauta está sendo testado em uma centrífuga.
A centrífuga possui diâmetro igual a 10 m e , ao começar, gira de acordo com:
theta=3 t^3+10 t^2+5 t+150, t está em segundos e theta em radianos. Quando t=5 s, determine:
© As intensidades da aceleração tangencial e da aceleração radial do astronauta.
***Obs.: rev (revolução) = volta completa

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o problema está pedindo. Temos um astronauta numa centrífuga que está girando. O diâmetro da centrífuga é de 10 metros, e a posição angular do astronauta em função do tempo é dada por:
theta = 3t^3 + 10t^2 + 5t + 150
Aqui, $ t $ está em segundos e $ \theta $ em radianos. A gente precisa descobrir, quando $ t = 5 $ segundos, quais são as intensidades da aceleração tangencial ($ a_t t çã a_r $) do astronauta. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre movimento circular, acelerações e como calcular derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um movimento circular, a aceleração total tem duas componentes principais:
  1. Aceleração Tangencial ($ a_t $): É a aceleração que está relacionada à mudança na velocidade tangencial do objeto. Basicamente, mostra se a velocidade está aumentando ou diminuindo.
  2. Aceleração Radial ou Centrípeta ($ a_r $): É a aceleração que aponta para o centro da trajetória circular e está relacionada à mudança na direção da velocidade.
Para encontrar essas acelerações, precisamos das derivadas da posição angular $ \theta $ em relação ao tempo $ t $.

Passo 3

Vamos começar calculando a velocidade angular ($ \omega omega çã \alpha $).
A velocidade angular é a primeira derivada de $ \theta $ em relação a $ t $:
alpha
A aceleração angular é a segunda derivada de $ \theta $ em relação a $ t $:
theta
Agora, vamos calcular essas quantidades no instante $ t = 5 $ segundos:
t
omega = dthetadt = ddt(3t^3 + 10t^2 + 5t + 150) = 9t^2 + 20t + 5

Passo 4

Agora que temos $ \omega $ e $ \alpha $, podemos calcular as acelerações tangencial e radial.
Aceleração Tangencial ($ a_t $):
A aceleração tangencial é dada por:
omega
Primeiro, precisamos do raio ($ r $) da centrífuga. Como o diâmetro é 10 metros, o raio é metade disso:
alpha
Então,
at
Aceleração Radial ($ a_r $):
A aceleração radial é dada por:
at = r times alpha
Já temos $ \omega = 330 , rad/s $, então:
r

Resposta

Quando $ t = 5 $ segundos, as intensidades das acelerações do astronauta são:
  • Aceleração Tangencial ($ a_t $): $ 550 , m/s^2 $
  • Aceleração Radial ($ a_r $): $ 544500 , m/s^2 $

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