Um astronauta está sendo testado em uma centrífuga.
A centrífuga possui diâmetro igual a 10 m e , ao começar, gira de acordo com:
,
está em segundos e
em radianos. Quando
, determine:
© As intensidades da aceleração tangencial e da aceleração radial do astronauta.
***Obs.: rev (revolução) = volta completa
A centrífuga possui diâmetro igual a 10 m e , ao começar, gira de acordo com:
© As intensidades da aceleração tangencial e da aceleração radial do astronauta.
***Obs.: rev (revolução) = volta completa
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o problema está pedindo. Temos um astronauta numa centrífuga que está girando. O diâmetro da centrífuga é de 10 metros, e a posição angular do astronauta em função do tempo é dada por:
Aqui, $ t $ está em segundos e $ \theta $ em radianos. A gente precisa descobrir, quando $ t = 5 $ segundos, quais são as intensidades da aceleração tangencial ($ a_t
a_r $) do astronauta. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre movimento circular, acelerações e como calcular derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em um movimento circular, a aceleração total tem duas componentes principais:
-
Aceleração Tangencial ($ a_t $): É a aceleração que está relacionada à mudança na velocidade tangencial do objeto. Basicamente, mostra se a velocidade está aumentando ou diminuindo.
-
Aceleração Radial ou Centrípeta ($ a_r $): É a aceleração que aponta para o centro da trajetória circular e está relacionada à mudança na direção da velocidade.
Para encontrar essas acelerações, precisamos das derivadas da posição angular $ \theta $ em relação ao tempo $ t $.
Passo 3
Vamos começar calculando a velocidade angular ($ \omega
\alpha $).
A velocidade angular é a primeira derivada de $ \theta $ em relação a $ t $:
A aceleração angular é a segunda derivada de $ \theta $ em relação a $ t $:
Agora, vamos calcular essas quantidades no instante $ t = 5 $ segundos:
Passo 4
Agora que temos $ \omega $ e $ \alpha $, podemos calcular as acelerações tangencial e radial.
Aceleração Tangencial ($ a_t $):
A aceleração tangencial é dada por:
Primeiro, precisamos do raio ($ r $) da centrífuga. Como o diâmetro é 10 metros, o raio é metade disso:
Então,
Aceleração Radial ($ a_r $):
A aceleração radial é dada por:
Já temos $ \omega = 330 , rad/s $, então:
Resposta
Quando $ t = 5 $ segundos, as intensidades das acelerações do astronauta são:
- Aceleração Tangencial ($ a_t $): $ 550 , m/s^2 $
- Aceleração Radial ($ a_r $): $ 544500 , m/s^2 $