Um edifício de uma região de abalos sísmicos constantes levou os engenheiros a projetar os alicerces da base dos prédios com molas para que a estrutura possa adequar a esses movimentos repentinos. Desta forma o edifício oscila com o abalo obedecendo a seguinte função
. Os valores proporcionais de uma maquete do edifício em que o coeficiente de elasticidade da mola
e a massa da maquete do prédio é de 16kg. Determine:
A constante de fase segundo a á função dada
A constante de fase segundo a á função dada
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um prédio que foi projetado para resistir a abalos sísmicos usando molas nos alicerces. A função que descreve a oscilação do prédio é $ y = 10 \cdot \cos(\omega t) $. Além disso, sabemos que o coeficiente de elasticidade da mola é $ \kappa = 64 , N/m $ e a massa da maquete do prédio é de 16 kg. Nosso objetivo aqui é encontrar a constante de fase dessa função. Para isso, vamos precisar usar conceitos de movimento harmônico simples e como a fase se relaciona com a posição e a velocidade no sistema oscilatório.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função de oscilação que foi dada: $ y = 10 \cdot \cos(\omega t) $. Nessa equação, $ y $ representa a posição do prédio em função do tempo $ t $, $ 10 $ é a amplitude da oscilação (o quanto ele se move para cima e para baixo), e $ \omega $ é a frequência angular da oscilação. A constante de fase é o termo que geralmente aparece dentro do cosseno, que no nosso caso está implícito.
Passo 3
A forma geral da função de movimento harmônico simples é:
Onde:
- $ A $ é a amplitude,
- $ \omega $ é a frequência angular,
- $ \phi $ é a constante de fase.
Comparando com a função que temos, que é $ y = 10 \cdot \cos(\omega t) $, percebemos que não há nenhum termo adicional dentro do cosseno além de $ \omega t $. Isso significa que a constante de fase $ \phi $ é zero.
Passo 4
Para confirmar isso, vamos lembrar que a constante de fase $ \phi $ determina o deslocamento inicial da oscilação no tempo $ t = 0 $. Se $ \phi = 0 $, a posição inicial é exatamente a amplitude máxima, ou seja, $ y(0) = A $. Como na nossa função $ y = 10 \cdot \cos(\omega t) $, quando $ t = 0 $, $ y = 10 \cdot \cos(0) = 10 $, o que confirma que não há deslocamento inicial, portanto, $ \phi = 0 $.
Resposta
A constante de fase é $ \phi = 0 $ radianos.