Um astronauta está sendo testado em uma centrífuga.
A centrífuga possui diâmetro igual a 10 m e , ao começar, gira de acordo com:
theta=3 t^3+10 t^2+5 t+150, t está em segundos e theta em radianos. Quando t=5 s, determine:
(b) As intensidades da velocidade angular e da velocidade linear;
***Obs.: rev (revolução) = volta completa

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um astronauta em uma centrífuga que está girando. A centrífuga tem um diâmetro de 10 metros e a posição angular do astronauta em função do tempo é dada por:
theta = 3t^3 + 10t^2 + 5t + 150
Aqui, $ t $ é o tempo em segundos e $ \theta $ está em radianos. Precisamos descobrir, quando $ t = 5 $ segundos, qual é a intensidade da velocidade angular ($ \omega t v $) do astronauta.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, e entender um pouco sobre movimento circular.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade angular ($ \omega omega éçãçã \theta theta çã t $). Matematicamente, isso é a derivada de $ \theta $ em relação a $ t $:
t

Passo 3

Vamos calcular a derivada da função $ \theta $ dada:
theta
Derivando cada termo em relação a $ t $:
theta = 3t^3 + 10t^2 + 5t + 150
Então, a expressão para a velocidade angular é:
t

Passo 4

Agora, vamos substituir $ t = 5 $ segundos na expressão da velocidade angular:
t = 5
Calculando passo a passo:
omega = 9(5)^2 + 20(5) + 5
9(25) = 225
20(5) = 100
Então, a velocidade angular quando $ t = 5 $ segundos é:
225 + 100 + 5 = 330

Passo 5

Agora, vamos encontrar a velocidade linear ($ v $). A velocidade linear está relacionada à velocidade angular pela fórmula:
v
Onde $ r $ é o raio da centrífuga. Como o diâmetro é 10 metros, o raio $ r $ é metade disso:
v = omega times r

Passo 6

Substituindo os valores de $ \omega $ e $ r $ na fórmula da velocidade linear:
omega
r

Resposta

A intensidade da velocidade angular é $ \omega = 330 , rad/s $ e a velocidade linear é $ v = 1650 , m/s $ quando $ t = 5 $ segundos.

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