Um astronauta está sendo testado em uma centrífuga.
A centrífuga possui diâmetro igual a 10 m e , ao começar, gira de acordo com:
,
está em segundos e
em radianos. Quando
, determine:
(b) As intensidades da velocidade angular e da velocidade linear;
***Obs.: rev (revolução) = volta completa
A centrífuga possui diâmetro igual a 10 m e , ao começar, gira de acordo com:
(b) As intensidades da velocidade angular e da velocidade linear;
***Obs.: rev (revolução) = volta completa
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um astronauta em uma centrífuga que está girando. A centrífuga tem um diâmetro de 10 metros e a posição angular do astronauta em função do tempo é dada por:
Aqui, $ t $ é o tempo em segundos e $ \theta $ está em radianos. Precisamos descobrir, quando $ t = 5 $ segundos, qual é a intensidade da velocidade angular ($ \omega
v $) do astronauta.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, e entender um pouco sobre movimento circular.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade angular ($ \omega
\theta
t $). Matematicamente, isso é a derivada de $ \theta $ em relação a $ t $:
Passo 3
Vamos calcular a derivada da função $ \theta $ dada:
Derivando cada termo em relação a $ t $:
Então, a expressão para a velocidade angular é:
Passo 4
Agora, vamos substituir $ t = 5 $ segundos na expressão da velocidade angular:
Calculando passo a passo:
Então, a velocidade angular quando $ t = 5 $ segundos é:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a velocidade linear ($ v $). A velocidade linear está relacionada à velocidade angular pela fórmula:
Onde $ r $ é o raio da centrífuga. Como o diâmetro é 10 metros, o raio $ r $ é metade disso:
Passo 6
Substituindo os valores de $ \omega $ e $ r $ na fórmula da velocidade linear:
Resposta
A intensidade da velocidade angular é $ \omega = 330 , rad/s $ e a velocidade linear é $ v = 1650 , m/s $ quando $ t = 5 $ segundos.