At some point last Saturday morning, it began snowing in Chicago (classic) at a constant rate. At noon, a snowplow began plowing University Avenue in a straight line, at a rate inversely proportional to the amount of snow on the ground. The plow covered exactly twice as much ground between noon and 1 pm , as it did between 1 pm and 2 pm (and it snowed at the same constant rate throughout). The goal of this problem is to determine what time it started snowing.
To that end, we let
be our time variable in hours (so that
corresponds to noon), and suppose
is the time at which the snow began to fall. Let
denote the hourly snowfall rate, and let
be the position of the snowplow at time
with
.
Write down the amount of snow on the ground at time
, in terms of
, and
.
To that end, we let
Write down the amount of snow on the ground at time
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente sabe que começou a nevar em Chicago em um ritmo constante antes do meio-dia. Às 12h, um caminhão de neve (snowplow) começa a tirar a neve da University Avenue. A velocidade desse caminhão é inversamente proporcional à quantidade de neve no chão. Sabemos também que o caminhão percorre o dobro de distância entre 12h e 13h do que entre 13h e 14h. Nosso objetivo aqui é descobrir a que horas começou a nevar.
Para resolver isso, precisamos usar conceitos de proporcionalidade e entender como a quantidade de neve acumulada afeta a velocidade do caminhão. Vamos precisar definir uma variável para o tempo e expressar a quantidade de neve no chão em termos dessa variável.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o tempo. Vamos considerar que
corresponde ao meio-dia. Assim, qualquer
representa horas após o meio-dia. Além disso,
será o tempo (em horas) antes do meio-dia em que a neve começou a cair.
A taxa de neve é constante e é representada por
(em centímetros por hora, por exemplo). Então, a quantidade total de neve acumulada até o tempo
será o produto da taxa de neve pelo tempo total que a neve esteve caindo.
Passo 3
A quantidade de neve no chão no tempo
é dada por:
Aqui,
representa o tempo total que a neve esteve caindo até o momento
.
é o tempo antes do meio-dia quando começou a nevar, e
é o tempo após o meio-dia.
Passo 4
Portanto, a quantidade de neve no chão em termos de
,
e
é:
Resposta
A quantidade de neve no chão no tempo
é
.