Considere a integral dupla
onde
é a região limitada pelas retas
e
. Calcule a integral usando a seguinte mudança de variáveis:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral dupla sobre uma região R, usando mudança de variáveis. A integral é:
A matéria envolvida aqui é Cálculo Integral, especificamente integrais duplas e mudança de variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como fazer a substituição de variáveis e calcular o Jacobian, que é uma forma de ajustar a área durante a mudança.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as novas variáveis que vamos usar. O enunciado sugere:
Isso vai simplificar a integral, tornando-a mais fácil de resolver.
Passo 3
Agora, precisamos expressar
e
em termos de
e
. Para isso, resolvemos o sistema de equações:
Somando as duas equações:
Subtraindo as equações:
Passo 4
Precisamos calcular o Jacobian da transformação para ajustar a integral. O Jacobiano é a matriz das derivadas parciais de
e
em relação a
e
:
O determinante do Jacobiano é:
Como estamos interessados no valor absoluto, temos
.
Passo 5
Agora, vamos substituir na integral original. Temos:
E
se transforma em:
Então, a integral fica:
Passo 6
Precisamos determinar os limites de integração na nova coordenada
e
. Vamos reescrever as retas que limitam a região
:
-
→ -
→ -
→ -
→
Com isso, determinamos que
varia entre 2 e 4. Para cada
,
varia de uma função até outra. Resolvendo as equações para
, chegamos aos limites de
:
Finalizando,
varia de
a
.
Passo 7
Agora, temos a integral com os novos limites:
Podemos simplificar a integração em
, já que
integra-se facilmente em relação a
:
Passo 8
Vamos simplificar a expressão:
Essa integral é conhecida como uma função exponencial integral, e não possui uma solução em termos de funções elementares. Portanto, podemos expressar o resultado final em termos de funções especiais ou deixar a integral assim.
Resposta
A integral dupla é igual a