Considere a integral dupla
integral duplaR e^x-2 yx+2 y d A
onde R é a região limitada pelas retas x=4-2 y, x=2 y-2, dotx+2 y=2 e x=2 y. Calcule a integral usando a seguinte mudança de variáveis: u=x+2 y, v=x-2 y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral dupla sobre uma região R, usando mudança de variáveis. A integral é:
integral duplaR e^x-2 yx+2 y , dA
A matéria envolvida aqui é Cálculo Integral, especificamente integrais duplas e mudança de variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como fazer a substituição de variáveis e calcular o Jacobian, que é uma forma de ajustar a área durante a mudança.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as novas variáveis que vamos usar. O enunciado sugere:
u = x + 2y
v = x - 2y
Isso vai simplificar a integral, tornando-a mais fácil de resolver.

Passo 3

Agora, precisamos expressar x e y em termos de u e v. Para isso, resolvemos o sistema de equações:
u = x + 2y
v = x - 2y
Somando as duas equações:
u + v = 2x Rightarrow x = u + v2
Subtraindo as equações:
u - v = 4y Rightarrow y = u - v4

Passo 4

Precisamos calcular o Jacobian da transformação para ajustar a integral. O Jacobiano é a matriz das derivadas parciais de x e y em relação a u e v:
J = partial xpartial u & partial xpartial v partial ypartial u & partial ypartial v = 12 & 12 14 & -14
O determinante do Jacobiano é:
|J| = (12 times -14) - (12 times 14) = -18 - 18 = -14
Como estamos interessados no valor absoluto, temos |J| = 14.

Passo 5

Agora, vamos substituir na integral original. Temos:
e^x-2yx+2y = e^vu
E dA se transforma em:
dA = |J| , du , dv = 14 , du , dv
Então, a integral fica:
integral duplaR e^vu cdot 14 , du , dv = 14 integral duplaR' e^vu , du , dv

Passo 6

Precisamos determinar os limites de integração na nova coordenada u e v. Vamos reescrever as retas que limitam a região R:
  1. x = 4 - 2y u = x + 2y = 4 - 2y + 2y = 4
  2. x = 2y - 2 u = x + 2y = 2y -2 + 2y = 4y -2
  3. x + 2y = 2 u = 2
  4. x = 2y u = x + 2y = 2y + 2y = 4y
Com isso, determinamos que u varia entre 2 e 4. Para cada u, v varia de uma função até outra. Resolvendo as equações para y, chegamos aos limites de v:
v = x - 2y = u + v2 - 2 cdot u - v4 = v
Finalizando, v varia de -u a u.

Passo 7

Agora, temos a integral com os novos limites:
14 integralu=2^4 integralv=-u^u e^vu , dv , du
Podemos simplificar a integração em v, já que e^vu integra-se facilmente em relação a v:
14 integral2^4 1u [ e^v ]-u^u , du = 14 integral2^4 1u (e^u - e^-u) , du

Passo 8

Vamos simplificar a expressão:
14 integral2^4 e^u - e^-uu , du
Essa integral é conhecida como uma função exponencial integral, e não possui uma solução em termos de funções elementares. Portanto, podemos expressar o resultado final em termos de funções especiais ou deixar a integral assim.

Resposta

A integral dupla é igual a
14 integral2^4 e^u - e^-uu , du

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