Evaluate the integral
integral0^1 t^4(1-t)^4 d t
then apply the result from the previous part to conclude that
227-1630<pi<227-11260

Passo 1

O enunciado pede primeiro para calcular
integral0^1 t^4(1-t)^4,dt.
Este é um integral de polinômio: basta expandir (1-t)^4 e integrar termo a termo.
Em seguida, usamos o resultado já obtido no item anterior, que diz que
integral0^1t^4(1-t)^41+t^2,dt ;=;227-pi,
para obter desigualdades que levam a
227-1630<pi<227-11260.

Passo 2

Expandimos
(1-t)^4 = 1 - 4t + 6t^2 - 4t^3 + t^4
Logo
t^4(1-t)^4 = t^4 - 4t^5 + 6t^6 - 4t^7 + t^8
Integrando de 0 a 1 e usando integral0^1t^ndt = 1n+1, temos
integral0^1t^4(1-t)^4,dt = 15 - 4cdot16 + 6cdot17 - 4cdot18 + 19 = 126 - 420 + 540 - 315 + 70630 = 1630

Passo 3

Defina
I = integral0^1t^4(1-t)^41+t^2,dt
Pelo item anterior já sabemos que
I = 227 - pi

Passo 4

Para tin[0,1] vale
1 <= 1+t^2<= 2 Longrightarrow 12<= 11+t^2<= 1
Multiplicando por t^4(1-t)^4>=0 e integrando, obtém-se
12integral0^1t^4(1-t)^4,dt ;<=; I ;<=; integral0^1t^4(1-t)^4,dt
Como integral0^1t^4(1-t)^4,dt=tfrac1630, segue
11260 ;<; I ;<; 1630

Passo 5

Substituindo I=tfrac227-pi nas desigualdades
11260 < 227-pi < 1630,
invertemos os sinais e somamos tfrac227, resultando em
227-1630;<;pi;<;227-11260

Resposta

integral0^1t^4(1-t)^4,dt = 1630
227-1630<pi<227-11260

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