Seja: e b=(c12 64 4 82)
(a) Verificar se A satisfaz as condições para decomposição de Cholesky.
(b) Decompor A em L L^T.
(c) Através da decomposição de Cholesky, calcular o determinante de A.
(d) Resolver o sistema A x=b.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me mandou um exercício que envolve uma matriz A e um vetor b . A gente precisa verificar se a matriz A pode ser decomposta usando a decomposição de Cholesky, realizar essa decomposição, calcular o determinante de A usando essa decomposição e, por fim, resolver o sistema linear A x = b . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre matrizes simétricas, decomposição de Cholesky, determinantes e resolução de sistemas lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se a matriz A satisfaz as condições para a decomposição de Cholesky. A decomposição de Cholesky só funciona se a matriz for simétrica e definida positiva. Olhando a matriz A , ela é simétrica porque A = A^T . Agora, precisamos verificar se ela é definida positiva, ou seja, se todos os seus autovalores são positivos ou, alternativamente, se todos os menores principais determinantes são positivos.
Passo 3
Vamos calcular os menores principais de A :
O primeiro menor principal é o elemento a11 = 9 , que é positivo.
O segundo menor principal é o determinante da matriz 2 times 2 no canto superior esquerdo:
O determinante completo de A precisa ser positivo também:
det(A) = 576 > 0
Como todos os menores principais são positivos, a matriz A é definida positiva. Portanto, A satisfaz as condições para a decomposição de Cholesky.
Passo 4
Agora que sabemos que A pode ser decomposta como L L^T , onde L é uma matriz triangular inferior, vamos encontrar L . A decomposição de Cholesky envolve encontrar os elementos de L de forma que A = L L^T . Vamos construir L passo a passo:
Agora que temos a decomposição de Cholesky A = L L^T , podemos calcular o determinante de A . O determinante de uma matriz triangular é o produto dos seus elementos diagonais. Portanto:
det(L) = l11 cdot l22 cdot l33 cdot l44 = 3 times 4 times 2 times 1 = 24
Como det(A) = (det(L))^2 , então:
det(A) = 24^2 = 576
Passo 6
Por fim, vamos resolver o sistema [A x = b) usando a decomposição de Cholesky. Primeiro, substituímos por :