Seja: A=(cccc9 & 6 & -3 & 3 6 & 20 & 2 & 22 -3 & 2 & 6 & 2 3 & 22 & 2 & 28) e b=(c12 64 4 82)
(a) Verificar se A satisfaz as condições para decomposição de Cholesky.
(b) Decompor A em L L^T.
(c) Através da decomposição de Cholesky, calcular o determinante de A.
(d) Resolver o sistema A x=b.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me mandou um exercício que envolve uma matriz A e um vetor b . A gente precisa verificar se a matriz A pode ser decomposta usando a decomposição de Cholesky, realizar essa decomposição, calcular o determinante de A usando essa decomposição e, por fim, resolver o sistema linear A x = b . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre matrizes simétricas, decomposição de Cholesky, determinantes e resolução de sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se a matriz A satisfaz as condições para a decomposição de Cholesky. A decomposição de Cholesky só funciona se a matriz for simétrica e definida positiva. Olhando a matriz A , ela é simétrica porque A = A^T . Agora, precisamos verificar se ela é definida positiva, ou seja, se todos os seus autovalores são positivos ou, alternativamente, se todos os menores principais determinantes são positivos.

Passo 3

Vamos calcular os menores principais de A :
  1. O primeiro menor principal é o elemento a11 = 9 , que é positivo.
  2. O segundo menor principal é o determinante da matriz 2 times 2 no canto superior esquerdo:
9 & 6 6 & 20 = (9)(20) - (6)(6) = 180 - 36 = 144 > 0
  1. O terceiro menor principal é o determinante da matriz 3 times 3 :
9 & 6 & -3 6 & 20 & 2 -3 & 2 & 6 = 9(20 cdot 6 - 2 cdot 2) - 6(6 cdot 6 - (-3) cdot 2) - 3(6 cdot 2 - 20 cdot (-3)) = 9(120 - 4) - 6(36 + 6) - 3(12 + 60) = 9(116) - 6(42) - 3(72) = 1044 - 252 - 216 = 576 > 0
  1. O determinante completo de A precisa ser positivo também:
det(A) = 576 > 0
Como todos os menores principais são positivos, a matriz A é definida positiva. Portanto, A satisfaz as condições para a decomposição de Cholesky.

Passo 4

Agora que sabemos que A pode ser decomposta como L L^T , onde L é uma matriz triangular inferior, vamos encontrar L . A decomposição de Cholesky envolve encontrar os elementos de L de forma que A = L L^T . Vamos construir L passo a passo:
Vamos escrever L como:
L = l11 & 0 & 0 & 0 l21 & l22 & 0 & 0 l31 & l32 & l33 & 0 l41 & l42 & l43 & l44
Agora, usamos a relação A = L L^T para encontrar os elementos de L .
  1. l11 = raiz9 = 3
  2. l21 = 6l11 = 63 = 2
  3. l31 = -3l11 = -33 = -1
  4. l41 = 3l11 = 33 = 1
Agora, para l22 :
l22 = raiz20 - l21^2 = raiz20 - 4 = raiz16 = 4
Para l32 :
l32 = 2 - l31 l21l22 = 2 - (-1)(2)4 = 2 + 24 = 1
Para l42 :
l42 = 22 - l41 l21l22 = 22 - (1)(2)4 = 204 = 5
Para l33 :
l33 = raiz6 - l31^2 - l32^2 = raiz6 - 1 - 1 = raiz4 = 2
Para l43 :
l43 = 2 - l41 l31 - l42 l32l33 = 2 - (1)(-1) - (5)(1)2 = 2 + 1 - 52 = -22 = -1
Finalmente, para l44 :
l44 = raiz28 - l41^2 - l42^2 - l43^2 = raiz28 - 1 - 25 - 1 = raiz1 = 1
Então, a matriz L é:
L = 3 & 0 & 0 & 0 2 & 4 & 0 & 0 -1 & 1 & 2 & 0 1 & 5 & -1 & 1

Passo 5

Agora que temos a decomposição de Cholesky A = L L^T , podemos calcular o determinante de A . O determinante de uma matriz triangular é o produto dos seus elementos diagonais. Portanto:
det(L) = l11 cdot l22 cdot l33 cdot l44 = 3 times 4 times 2 times 1 = 24
Como det(A) = (det(L))^2 , então:
det(A) = 24^2 = 576

Passo 6

Por fim, vamos resolver o sistema [A x = b) usando a decomposição de Cholesky. Primeiro, substituímos por :
Vamos fazer uma substituição , então:
Primeiro, resolvemos utilizando substituição direta:
Resolvendo:

  1. 3.
    4.
Agora, resolvemos usando substituição retroativa:
Resolvendo de baixo para cima:

  1. 3.
    4.

Resposta

A solução do sistema A x = b é:
x = 2 -3 1 5

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