Utilize as decomposições
da questão anterior para resolver os seguintes sistemas:
a)
b)
(ccc 2 & 1 & 0 1 & 6 & 4 0 & 4 & 11 )(l x1 x2 x3 )=(l b1 b2 b3 ) para b=(3,11,15)^T
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver os sistemas lineares usando a decomposição
A = LU . A decomposição LU quebra a matriz dos coeficientes em duas matrizes triangulares, uma inferior (
L ) e outra superior (
U ). Isso facilita resolver sistemas de equações usando substituições. Vamos precisar entender como aplicar essa decomposição para resolver os sistemas apresentados nas partes a) e b).
Passo 2
Parte a)
Primeiro, vamos olhar para o sistema:
Vamos assumir que já temos a decomposição
A = LU . Para uma matriz
2 times 2 , a decomposição fica geralmente assim:
Multiplicando
L e
U dá de volta
A , então podemos encontrar os elementos de
L e
U :
Comparando os elementos, temos:
-
u11 = 16 -
u12 = 5 -
l21 times u11 = 1 Rightarrow l21 = 116 -
l21 times u12 + u22 = 2 Rightarrow 116 times 5 + u22 = 2 Rightarrow u22 = 2 - 516 = 2716
Então:
Passo 3
Agora que temos
A = LU , resolvemos
Ax = b transformando em
LUx = b . Vamos resolver primeiro
Ly = b e depois
Ux = y .
Para o sistema:
Isso nos dá:
-
y1 = 21 -
116 times 21 + y2 = 3 Rightarrow y2 = 3 - 2116 = 2716 - 2116 = 316
Agora resolvemos
Ux = y :
Isso nos dá:
-
16x1 + 5x2 = 21 -
2716x2 = 316 Rightarrow x2 = 316 div 2716 = 327 = 19
Substituindo
x2 = 19 na primeira equação:
Passo 4
Parte b)
Vamos para o segundo sistema:
Primeiro, precisamos fazer a decomposição
A = LU para a matriz
3 times 3 . Vamos montar as matrizes
L e
U .
Assumindo:
Multiplicando
L e
U :
Vamos encontrar os elementos de
L e
U comparando as posições:
-
u11 = 2 -
u12 = 1 -
u13 = 0 -
l21u11 = 1 Rightarrow l21 = 12 -
l21u12 + u22 = 6 Rightarrow 12 times 1 + u22 = 6 Rightarrow u22 = 6 - 12 = 112 -
l21u13 + u23 = 4 Rightarrow 12 times 0 + u23 = 4 Rightarrow u23 = 4 -
l31u11 = 0 Rightarrow l31 = 0 -
l31u12 + l32u22 = 4 Rightarrow 0 times 1 + l32 times 112 = 4 Rightarrow l32 = 811 -
l31u13 + l32u23 + u33 = 11 Rightarrow 0 times 0 + 811 times 4 + u33 = 11 Rightarrow u33 = 11 - 3211 = 121 - 3211 = 8911
Então:
Passo 5
Com
A = LU , resolvemos
Ax = b transformando em
LUx = b . Primeiro, resolvemos
Ly = b e depois
Ux = y .
Para
Ly = b :
Isso resulta em:
-
y1 = 3 -
12y1 + y2 = 11 Rightarrow 12 times 3 + y2 = 11 Rightarrow y2 = 11 - 32 = 192 -
811y2 + y3 = 15 Rightarrow 811 times 192 + y3 = 15 Rightarrow y3 = 15 - 15222 = 15 - 7611 = 165 - 7611 = 8911
Então:
Passo 6
Agora, resolvemos
Ux = y :
Começamos de baixo para cima:
- Da terceira equação:
- Da segunda equação:
- Da primeira equação:
Resposta
a) A solução do sistema é
x1 = dfrac2318 e
x2 = dfrac19 .
b) A solução do sistema é
x1 = 1 ,
x2 = 1 e
x3 = 1 .