Utilize as decomposições A=L U da questão anterior para resolver os seguintes sistemas:
a)
(cc 16 & 5 1 & 2 )binomx1x2=binomb1b2 para b=(21,3)^T
b)
(ccc 2 & 1 & 0 1 & 6 & 4 0 & 4 & 11 )(l x1 x2 x3 )=(l b1 b2 b3 ) para b=(3,11,15)^T

Passo 1

Beleza, vamos resolver os sistemas lineares usando a decomposição A = LU. A decomposição LU quebra a matriz dos coeficientes em duas matrizes triangulares, uma inferior ( L) e outra superior ( U). Isso facilita resolver sistemas de equações usando substituições. Vamos precisar entender como aplicar essa decomposição para resolver os sistemas apresentados nas partes a) e b).

Passo 2

Parte a)
Primeiro, vamos olhar para o sistema:
16 & 5 1 & 2 x1 x2 = 21 3
Vamos assumir que já temos a decomposição A = LU. Para uma matriz 2 times 2, a decomposição fica geralmente assim:
L = 1 & 0 l21 & 1 , U = u11 & u12 0 & u22
Multiplicando L e U dá de volta A, então podemos encontrar os elementos de L e U:
1 & 0 l21 & 1 u11 & u12 0 & u22 = u11 & u12 l21u11 & l21u12 + u22 = 16 & 5 1 & 2
Comparando os elementos, temos:
  • u11 = 16
  • u12 = 5
  • l21 times u11 = 1 Rightarrow l21 = 116
  • l21 times u12 + u22 = 2 Rightarrow 116 times 5 + u22 = 2 Rightarrow u22 = 2 - 516 = 2716
Então:
L = 1 & 0 116 & 1 , U = 16 & 5 0 & 2716

Passo 3

Agora que temos A = LU, resolvemos Ax = b transformando em LUx = b. Vamos resolver primeiro Ly = b e depois Ux = y.
Para o sistema:
Ly = 1 & 0 116 & 1 y1 y2 = 21 3
Isso nos dá:
  • y1 = 21
  • 116 times 21 + y2 = 3 Rightarrow y2 = 3 - 2116 = 2716 - 2116 = 316
Agora resolvemos Ux = y:
16 & 5 0 & 2716 x1 x2 = 21 316
Isso nos dá:
  • 16x1 + 5x2 = 21
  • 2716x2 = 316 Rightarrow x2 = 316 div 2716 = 327 = 19
Substituindo x2 = 19 na primeira equação:
16x1 + 5 times 19 = 21 Rightarrow 16x1 + 59 = 21 Rightarrow 16x1 = 21 - 59 = 1899 - 59 = 1849 Rightarrow x1 = 1849 times 16 = 2318

Passo 4

Parte b)
Vamos para o segundo sistema:
2 & 1 & 0 1 & 6 & 4 0 & 4 & 11 x1 x2 x3 = 3 11 15
Primeiro, precisamos fazer a decomposição A = LU para a matriz 3 times 3. Vamos montar as matrizes L e U.
Assumindo:
L = 1 & 0 & 0 l21 & 1 & 0 l31 & l32 & 1 , U = u11 & u12 & u13 0 & u22 & u23 0 & 0 & u33
Multiplicando L e U:
1 & 0 & 0 l21 & 1 & 0 l31 & l32 & 1 u11 & u12 & u13 0 & u22 & u23 0 & 0 & u33 = u11 & u12 & u13 l21u11 & l21u12 + u22 & l21u13 + u23 l31u11 & l31u12 + l32u22 & l31u13 + l32u23 + u33 = 2 & 1 & 0 1 & 6 & 4 0 & 4 & 11
Vamos encontrar os elementos de L e U comparando as posições:
  1. u11 = 2
  2. u12 = 1
  3. u13 = 0
  4. l21u11 = 1 Rightarrow l21 = 12
  5. l21u12 + u22 = 6 Rightarrow 12 times 1 + u22 = 6 Rightarrow u22 = 6 - 12 = 112
  6. l21u13 + u23 = 4 Rightarrow 12 times 0 + u23 = 4 Rightarrow u23 = 4
  7. l31u11 = 0 Rightarrow l31 = 0
  8. l31u12 + l32u22 = 4 Rightarrow 0 times 1 + l32 times 112 = 4 Rightarrow l32 = 811
  9. l31u13 + l32u23 + u33 = 11 Rightarrow 0 times 0 + 811 times 4 + u33 = 11 Rightarrow u33 = 11 - 3211 = 121 - 3211 = 8911
Então:
L = 1 & 0 & 0 12 & 1 & 0 0 & 811 & 1 , U = 2 & 1 & 0 0 & 112 & 4 0 & 0 & 8911

Passo 5

Com A = LU, resolvemos Ax = b transformando em LUx = b. Primeiro, resolvemos Ly = b e depois Ux = y.
Para Ly = b:
1 & 0 & 0 12 & 1 & 0 0 & 811 & 1 y1 y2 y3 = 3 11 15
Isso resulta em:
  1. y1 = 3
  2. 12y1 + y2 = 11 Rightarrow 12 times 3 + y2 = 11 Rightarrow y2 = 11 - 32 = 192
  3. 811y2 + y3 = 15 Rightarrow 811 times 192 + y3 = 15 Rightarrow y3 = 15 - 15222 = 15 - 7611 = 165 - 7611 = 8911
Então:
y = 3 192 8911

Passo 6

Agora, resolvemos Ux = y:
2 & 1 & 0 0 & 112 & 4 0 & 0 & 8911 x1 x2 x3 = 3 192 8911
Começamos de baixo para cima:
  1. Da terceira equação:
8911x3 = 8911 Rightarrow x3 = 1
  1. Da segunda equação:
112x2 + 4x3 = 192 Rightarrow 112x2 + 4 times 1 = 192 Rightarrow 112x2 = 192 - 4 = 192 - 82 = 112 Rightarrow x2 = 1
  1. Da primeira equação:
2x1 + x2 = 3 Rightarrow 2x1 + 1 = 3 Rightarrow 2x1 = 2 Rightarrow x1 = 1

Resposta

a) A solução do sistema é x1 = dfrac2318 e x2 = dfrac19.
b) A solução do sistema é x1 = 1, x2 = 1 e x3 = 1.

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