At some point last Saturday morning, it began snowing in Chicago (classic) at a constant rate. At noon, a snowplow began plowing University Avenue in a straight line, at a rate inversely proportional to the amount of snow on the ground. The plow covered exactly twice as much ground between noon and 1 pm , as it did between 1 pm and 2 pm (and it snowed at the same constant rate throughout). The goal of this problem is to determine what time it started snowing.
To that end, we let be our time variable in hours (so that corresponds to noon), and suppose is the time at which the snow began to fall. Let denote the hourly snowfall rate, and let be the position of the snowplow at time with .
Argue that for some constant , and hence .
Passo 1
O enunciado usa como variável as horas após o meio-dia ( corresponde a meio-dia), e supõe que a neve começou a cair no instante (com ), a uma taxa constante (profundidade por hora). O ploco inicia em na posição e sua velocidade é inversamente proporcional à profundidade de neve acumulada. Vamos primeiro escrever a profundidade de neve em função de , depois usar a relação de proporcionalidade inversa para obter e finalmente integrar para achar .
Passo 2
Como a neve cai a uma taxa constante , a profundidade acumulada no instante (desde o início da neve em ) é
Passo 3
A velocidade do ploco é inversamente proporcional à profundidade de neve, logo existe constante tal que