At some point last Saturday morning, it began snowing in Chicago (classic) at a constant rate. At noon, a snowplow began plowing University Avenue in a straight line, at a rate inversely proportional to the amount of snow on the ground. The plow covered exactly twice as much ground between noon and 1 pm , as it did between 1 pm and 2 pm (and it snowed at the same constant rate throughout). The goal of this problem is to determine what time it started snowing.
To that end, we let t be our time variable in hours (so that t=0 corresponds to noon), and suppose T is the time at which the snow began to fall. Let r denote the hourly snowfall rate, and let p(t) be the position of the snowplow at time t with p(0)=0.
Argue that p^prime(t)=kr(t-T) for some constant k>0, and hence
p(t)=kr ln (T-tT).

Passo 1

O enunciado usa como variável t as horas após o meio-dia ( t=0 corresponde a meio-dia), e supõe que a neve começou a cair no instante t=T (com T<0), a uma taxa constante r (profundidade por hora). O ploco inicia em t=0 na posição p(0)=0 e sua velocidade é inversamente proporcional à profundidade de neve acumulada. Vamos primeiro escrever a profundidade de neve em função de t, depois usar a relação de proporcionalidade inversa para obter p'(t) e finalmente integrar para achar p(t).

Passo 2

Como a neve cai a uma taxa constante r, a profundidade acumulada no instante t (desde o início da neve em t=T) é
profundidade(t) ;=;integralT^,tr,du ;=;r,(t-T)

Passo 3

A velocidade do ploco é inversamente proporcional à profundidade de neve, logo existe constante k>0 tal que
p'(t);=;kprofundidade(t) ;=;kr,(t-T)

Passo 4

Para encontrar p(t), integramos
p'(t)=kr,(t-T) Longrightarrow p(t)=integral kr,(t-T),dt =kr,lnl|t-Tr|+C

Passo 5

Usamos a condição p(0)=0:
0 = p(0)=krlnl|0-Tr|+C =krln|T|+C ;Longrightarrow; C=-krln|T|
Substituindo em p(t) e notando que T<0 faz |t-T|=T-t e |T|=-T, obtemos
p(t) =krl[ln(T-t)-ln(T)r] =krln!l(T-tTr)

Resposta

p'(t)=kr,(t-T), p(t)=krln!l(T-tTr)

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