Calcule o volume do sólido de revolução obtido pela rotação, em torno do eixo y, do conjunto de todos os (x, y), tais que
0 <= x <= pi e 0 <= y <= sen x

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo y a região
R = (x,y)mid 0<= x<= pi,;0<= y<= sin x
Este é um problema de volume de revolução; como o eixo de rotação é vertical, o método dos casquinhos cilíndricos (shells) é o mais direto.

Passo 2

No método dos casquinhos cilíndricos, tomamos uma tira vertical em x de largura dx. Cada casquinho tem:
  • raio =x,
  • altura =sin x,
  • espessura =dx.
A área lateral de um casquinho é 2pi,(raio)times(a<ura) = 2pi xsin x.
Logo o volume elementar é
dV = 2pi,xsin x,dx
e o volume total é
V = integral0^pi 2pi,xsin x,dx = 2pi integral0^pi xsin x,dx

Passo 3

Agora calculamos
integral0^pi xsin x,dx
Usando integração por partes, seja u=x, dv=sin x,dx. Então du=dx e v=-cos x.
integral xsin x,dx = -xcos x + integral cos x,dx = -xcos x + sin x
Avalia em 0 e pi:
l[-xcos x + sin xr]0^pi = l[-picospi + sinpir]-l[0cdotcos0 + sin0r] = -pi(-1)+0 - 0 = pi

Passo 4

Substituindo no volume,
V = 2pi times pi = 2pi^2

Resposta

2pi^2

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