Calcule o volume do sólido de revolução obtido pela rotação, em torno do eixo y, do conjunto de todos os (x, y), tais que
0 <= x <= 1 e 0 <= y <= arctg x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume de um sólido de revolução, que é o sólido formado quando a região definida pelas coordenadas (x, y) com 0 <= x <= 1 e 0 <= y <= arctan x é girada em torno do eixo y. Para isso, vamos usar o método dos discos ou anéis, que é uma técnica da geometria para encontrar volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender qual método usar. Como estamos girando em torno do eixo y, é mais conveniente usar o método das cascas cilíndricas. Esse método é útil quando a rotação é em torno de um eixo vertical ou horizontal, e envolve integrar ao longo de uma das variáveis.

Passo 3

Vamos lembrar como funciona o método das cascas. A fórmula para o volume V usando esse método é:
V = 2pi integrala^b x cdot f(x) , dx
Aqui, x é a distância do elemento infinitesimal à linha de rotação (no nosso caso, ao eixo y), e f(x) é a altura da casca cilíndrica.

Passo 4

No nosso problema, f(x) = arctan x e os limites de integração vão de a = 0 até b = 1. Então, substituindo na fórmula:
V = 2pi integral0^1 x cdot arctan x , dx

Passo 5

Agora, precisamos resolver essa integral. Vamos usar integração por partes, que é uma técnica para integrar o produto de duas funções. A fórmula de integração por partes é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Vamos escolher u = arctan x e dv = x , dx. Assim, precisamos encontrar du e v.

Passo 6

Calculando du e v:
  • u = arctan x então du = 11 + x^2 , dx
  • dv = x , dx então v = x^22

Passo 7

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral x cdot arctan x , dx = x^22 cdot arctan x - integral x^22 cdot 11 + x^2 , dx
Simplificando a integral restante:
integral x^22(1 + x^2) , dx = 12 integral x^21 + x^2 , dx

Passo 8

Simplificando a fração dentro da integral:
x^21 + x^2 = 1 - 11 + x^2
Então, a integral fica:
12 integral (1 - 11 + x^2) , dx = 12 ( integral 1 , dx - integral 11 + x^2 , dx )

Passo 9

Calculando as integrais:
  • integral 1 , dx = x
  • integral 11 + x^2 , dx = arctan x
Então,
12 ( x - arctan x ) + C

Passo 10

Voltando à integração por partes:
integral x cdot arctan x , dx = x^22 cdot arctan x - 12 ( x - arctan x ) + C
Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 1.

Passo 11

Calculando a integral definida:
[ x^22 cdot arctan x - x2 + arctan x2 ]0^1
Substituindo x = 1 e x = 0:
Para x = 1:
12 cdot pi4 - 12 + pi8 = pi8 - 12 + pi8 = pi4 - 12
Para x = 0:
0 - 0 + 0 = 0
Então, a integral vale:
pi4 - 12

Passo 12

Voltando à fórmula do volume:
V = 2pi ( pi4 - 12 ) = pi^22 - pi

Resposta

O volume do sólido de revolução é pi^22 - pi unidades cúbicas.

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