Calcule o volume do sólido de revolução obtido pela rotação, em torno do eixo
, do conjunto de todos os
, tais que
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume de um sólido de revolução, que é o sólido formado quando a região definida pelas coordenadas
com
e
é girada em torno do eixo
. Para isso, vamos usar o método dos discos ou anéis, que é uma técnica da geometria para encontrar volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender qual método usar. Como estamos girando em torno do eixo
, é mais conveniente usar o método das cascas cilíndricas. Esse método é útil quando a rotação é em torno de um eixo vertical ou horizontal, e envolve integrar ao longo de uma das variáveis.
Passo 3
Vamos lembrar como funciona o método das cascas. A fórmula para o volume
usando esse método é:
Aqui,
é a distância do elemento infinitesimal à linha de rotação (no nosso caso, ao eixo
), e
é a altura da casca cilíndrica.
Passo 4
No nosso problema,
e os limites de integração vão de
até
. Então, substituindo na fórmula:
Passo 5
Agora, precisamos resolver essa integral. Vamos usar integração por partes, que é uma técnica para integrar o produto de duas funções. A fórmula de integração por partes é:
Vamos escolher
e
. Assim, precisamos encontrar
e
.
Passo 6
Calculando
e
:
-
então -
então
Passo 7
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Simplificando a integral restante:
Passo 8
Simplificando a fração dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 9
Calculando as integrais:
Então,
Passo 10
Voltando à integração por partes:
Agora, aplicamos os limites de integração de
a
.
Passo 11
Calculando a integral definida:
Substituindo
e
:
Para
:
Para
:
Então, a integral vale:
Passo 12
Voltando à fórmula do volume:
Resposta
O volume do sólido de revolução é
unidades cúbicas.