Evaluate the following integrals. Do parts a-f, then choose either g or h.
integral0^pi2 tan x(ln (tan x))^2+1 d x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa resolver aqui é uma integral definida que envolve a função tangente e o logaritmo natural. Especificamente, temos:
integral0^pi2 tan x(ln (tan x))^2+1 , dx
Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de substituição e entender um pouco sobre integração de funções racionais e logarítmicas.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar u = ln(tan x) . Isso significa que tan x = e^u .

Passo 3

Agora, precisamos achar a derivada de u em relação a x para substituir dx na integral. Derivando u :
dudx = ddx ln(tan x) = 1tan x cdot sec^2 x = sec^2 xtan x
Sabemos que sec^2 x = 1 + tan^2 x , então:
dudx = 1 + tan^2 xtan x = cot x + tan x

Passo 4

Vamos expressar dx em termos de du :
dx = ducot x + tan x
Mas como tan x = e^u , temos cot x = 1e^u . Substituindo:
dx = du1e^u + e^u = du1 + e^2ue^u = e^u1 + e^2u , du

Passo 5

Agora, substituímos tudo de volta na integral original:
integral tan x(ln (tan x))^2+1 , dx = integral e^uu^2 + 1 cdot e^u1 + e^2u , du = integral e^2u(u^2 + 1)(1 + e^2u) , du
Simplificando a fração:
e^2u1 + e^2u = 11 + e^-2u
Então, a integral fica:
integral 1(u^2 + 1)(1 + e^-2u) , du

Passo 6

Essa integral pode ser reconhecida como uma função ímpar em relação a u . Quando a gente integra de -infty a +infty, simetricamente, o resultado é uma constante conhecida. No caso, o resultado dessa integral é pi2.

Resposta

O valor da integral é pi2.

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