Evaluate the following integrals. Do parts a-f, then choose either g or h.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa resolver aqui é uma integral definida que envolve a função tangente e o logaritmo natural. Especificamente, temos:
Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de substituição e entender um pouco sobre integração de funções racionais e logarítmicas.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar
. Isso significa que
.
Passo 3
Agora, precisamos achar a derivada de
em relação a
para substituir
na integral. Derivando
:
Sabemos que
, então:
Passo 4
Vamos expressar
em termos de
:
Mas como
, temos
. Substituindo:
Passo 5
Agora, substituímos tudo de volta na integral original:
Simplificando a fração:
Então, a integral fica:
Passo 6
Essa integral pode ser reconhecida como uma função ímpar em relação a
. Quando a gente integra de
a
, simetricamente, o resultado é uma constante conhecida. No caso, o resultado dessa integral é
.
Resposta
O valor da integral é
.