Resolva a integral utilizando a técnica de partes:
integral arctan x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral arctan x , dx
usando a técnica de integração por partes. Vamos usar a fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du,
escolhendo u e dv de modo a simplificar a integral.

Passo 2

Definimos
u = arctan x, dv = dx
Derivando u, obtemos
du = 11+x^2,dx,
e integrando dv, temos
v = integral dx = x

Passo 3

Aplicando a fórmula de partes:
integral arctan x , dx = u,v - integral v,du = xarctan x - integral x cdot 11+x^2,dx

Passo 4

Para calcular
integral x1+x^2,dx, fazemos a substituição
t = 1+x^2, dt = 2x,dx
Então
integral x1+x^2,dx = 12integral dtt = 12lnlvert trvert + C = 12ln(1+x^2) + C

Passo 5

Substituindo esse resultado em
xarctan x - integral x1+x^2,dx, concluímos que
integral arctan x , dx = xarctan x - 12ln(1+x^2) + C

Resposta

xarctan x ;-;12lnl(1+x^2r);+;C

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