Q1: Sejam \beta=\left\{\vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}\right\} uma base de \mathbb{R}^{2}, \vec{u}=(-1,-7) e \vec{v}=(0,1). Se as coordenadas na base \beta destes vetores são [\vec{u}]_{\beta}=(-3,-4) e [\vec{v}]_{\beta}=(1,1), então \vec{b}_{1} é:
(A) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -10\end{array}\right]
(B) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -9\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -8\end{array}\right]
(D) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -7\end{array}\right]
(E) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -6\end{array}\right]
(F) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -5\end{array}\right]
(G) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -4\end{array}\right]
(H) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -3\end{array}\right]

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que pede:
  • Informação: a base \beta=\{\vec{b}_{1},\vec{b}_{2}\} de \mathbb{R}^{2}.
  • Informação: \vec{u}=(-1,-7) (coordenadas canônicas) e \vec{v}=(0,1).
  • Informação: as coordenadas desses vetores na base \beta são [\vec{u}]_{\beta}=(-3,-4) e [\vec{v}]_{\beta}=(1,1).
  • O enunciado pede: determinar \vec{b}_{1}. As alternativas só mostram a segunda componente (valores de -10 a -3), então precisamos descobrir a segunda componente correta — e, se possível, a primeira também.

Passo 2

Conceito importante (explicação passo a passo, como numa aulinha):
  • Se \beta=\{\vec{b}_{1},\vec{b}_{2}\}, escrevendo a matriz cujas colunas são esses vetores temos
B=\begin{pmatrix}\vec{b}_{1} & \vec{b}_{2}\end{pmatrix}.
  • A relação entre coordenadas em \beta e coordenadas canônicas é
\vec{x}=B\,[\vec{x}]_{\beta},
ou seja, multiplicando a matriz B pelo vetor de coordenadas na base \beta obtemos o vetor nas coordenadas usuais. Isso vale para qualquer \vec{x}.

Passo 3

Aplicando a relação aos dois vetores dados:
  • Seja \vec{b}_{1}=(a,b) e \vec{b}_{2}=(c,d) (a gente vai determinar a,b,c,d).
  • Para \vec{u}: como [\vec{u}]_{\beta}=(-3,-4), vale
-3\vec{b}_{1}-4\vec{b}_{2}=\vec{u}=(-1,-7).
Escrevendo em coordenadas isso dá o sistema
-3a-4c=-1, \qquad -3b-4d=-7.
  • Para \vec{v}: como [\vec{v}]_{\beta}=(1,1), vale
\vec{b}_{1}+\vec{b}_{2}=\vec{v}=(0,1).
Em coordenadas:
a+c=0, \qquad b+d=1.

Passo 4

Resolver o sistema passo a passo (sem pular etapas):
  • Da equação a+c=0 temos
c=-a.
  • Substituindo em -3a-4c=-1:
-3a-4(-a)=-1
-3a+4a=-1
a=-1.
  • Como c=-a, então
c=1.
  • Da equação b+d=1 temos
d=1-b.
  • Substituindo em -3b-4d=-7:
-3b-4(1-b)=-7
-3b-4+4b=-7
b-4=-7
b=-3.
  • Como d=1-b, então
d=1-(-3)=4.

Passo 5

Concluir e checar (sempre bom conferir as contas):
  • Encontramos \vec{b}_{1}=(a,b)=(-1,-3) e \vec{b}_{2}=(c,d)=(1,4).
  • Verificação rápida:
\vec{b}_{1}+\vec{b}_{2}=(-1,-3)+(1,4)=(0,1)=\vec{v},
-3\vec{b}_{1}-4\vec{b}_{2}=-3(-1,-3)-4(1,4)=(3,9)+(-4,-16)=(-1,-7)=\vec{u}.
As contas conferem, então \vec{b}_{1}=(-1,-3).

Resposta

(H) \begin{pmatrix}-1\\\ -3\end{pmatrix}

Exercícios relacionados