Q1: Sejam \beta=\left\{\vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}\right\} uma base de \mathbb{R}^{2}, \vec{u}=(-1,-7) e \vec{v}=(0,1). Se as coordenadas na base \beta destes vetores são [\vec{u}]_{\beta}=(-3,-4) e [\vec{v}]_{\beta}=(1,1), então \vec{b}_{1} é:
(A) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -10\end{array}\right]
(B) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -9\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -8\end{array}\right]
(D) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -7\end{array}\right]
(E) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -6\end{array}\right]
(F) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -5\end{array}\right]
(G) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -4\end{array}\right]
(H) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -3\end{array}\right]
Passo 1
O que o enunciado nos dá e o que pede:
Informação: a base \beta=\{\vec{b}_{1},\vec{b}_{2}\} de \mathbb{R}^{2}.
Informação: \vec{u}=(-1,-7) (coordenadas canônicas) e \vec{v}=(0,1).
Informação: as coordenadas desses vetores na base \beta são [\vec{u}]_{\beta}=(-3,-4) e [\vec{v}]_{\beta}=(1,1).
O enunciado pede: determinar \vec{b}_{1}. As alternativas só mostram a segunda componente (valores de -10 a -3), então precisamos descobrir a segunda componente correta — e, se possível, a primeira também.
Passo 2
Conceito importante (explicação passo a passo, como numa aulinha):
Se \beta=\{\vec{b}_{1},\vec{b}_{2}\}, escrevendo a matriz cujas colunas são esses vetores temos