Determine a medida angular entre a reta r: X=(1,0,0)+\lambda(-1, \sqrt{2}, 1) e o plano \pi: x-z-6=0.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • A reta r está em forma parâtrica: \,X=(1,0,0)+\lambda(-1,\sqrt{2},1)\,. Ou seja, um ponto da reta é (1,0,0) e o vetor diretor é \,d=(-1,\sqrt{2},1)\,.
  • O plano \pi tem equação \,x-z-6=0\,. Os coeficientes da equação dão o vetor normal ao plano: \,n=(1,0,-1)\,.
O que o problema pede:
  • Determinar a medida angular entre a reta r e o plano \pi. Ou seja, encontrar o ângulo \theta entre a reta e o plano, com 0^\circ\le\theta\le90^\circ.

Passo 2

Entendendo o que é “ângulo entre reta e plano” (explicação didática):
  • Seja d o vetor diretor da reta e n o vetor normal do plano. O ângulo \varphi entre d e n é o ângulo usual entre dois vetores, dado por produto escalar.
  • O ângulo \theta entre a reta e o plano é o complemento de \varphi: \theta=90^\circ-\varphi. Intuitivamente: se a reta é perpendicular ao plano, d é paralelo a n ( \varphi=0^\circ) e a reta forma \theta=90^\circ com o plano; se a reta é paralela ao plano, d é perpendicular a n ( \varphi=90^\circ) e \theta=0^\circ.
  • A relação útil que vamos usar nasce do produto escalar. Para dois vetores quaisquer vale:
\cos\varphi=\frac{|d\cdot n|}{\|d\|\|n\|}.
Como \theta=90^\circ-\varphi, obtemos
\sin\theta=\cos\varphi=\frac{|d\cdot n|}{\|d\|\|n\|}.
Portanto basta calcular d\cdot n, \|d\| e \|n\| e usar \sin\theta=\dfrac{|d\cdot n|}{\|d\|\|n\|}.

Passo 3

Calcular o produto escalar d\cdot n.
  • Os vetores são d=(-1,\sqrt{2},1) e n=(1,0,-1).
  • Multiplicando componente a componente e somando:
d\cdot n = (-1)\cdot 1 + (\sqrt{2})\cdot 0 + 1\cdot(-1) = -1 + 0 -1 = -2.
  • O valor absoluto é |d\cdot n|=2.

Passo 4

Calcular as normas \|d\| e \|n\|.
  • Para d:
\|d\|=\sqrt{(-1)^2+(\sqrt{2})^2+1^2}=\sqrt{1+2+1}=\sqrt{4}=2.
  • Para n:
\|n\|=\sqrt{1^2+0^2+(-1)^2}=\sqrt{1+0+1}=\sqrt{2}.

Passo 5

Aplicar a fórmula \sin\theta=\dfrac{|d\cdot n|}{\|d\|\|n\|}.
  • Substituindo os valores:
\sin\theta=\frac{2}{2\cdot\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.
  • Assim \theta=\arcsin\!\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right). Conhecendo valores notáveis, \arcsin\!\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=45^\circ, que em radianos é \dfrac{\pi}{4}.
  • Observação rápida (checagem): o ângulo entre d e n é \varphi=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=45^\circ, logo \theta=90^\circ-\varphi=45^\circ. Ambos os caminhos dão o mesmo resultado.

Resposta

\theta=45^\circ=\dfrac{\pi}{4}

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