Determine a medida angular entre a reta
e o plano
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- A reta
está em forma parâtrica: . Ou seja, um ponto da reta é e o vetor diretor é . - O plano
tem equação . Os coeficientes da equação dão o vetor normal ao plano: .
O que o problema pede:
- Determinar a medida angular entre a reta
e o plano . Ou seja, encontrar o ângulo entre a reta e o plano, com .
Passo 2
Entendendo o que é “ângulo entre reta e plano” (explicação didática):
- Seja
o vetor diretor da reta e o vetor normal do plano. O ângulo entre e é o ângulo usual entre dois vetores, dado por produto escalar. - O ângulo
entre a reta e o plano é o complemento de : . Intuitivamente: se a reta é perpendicular ao plano, é paralelo a ( ) e a reta forma com o plano; se a reta é paralela ao plano, é perpendicular a ( ) e . - A relação útil que vamos usar nasce do produto escalar. Para dois vetores quaisquer vale:
Como
, obtemos
Portanto basta calcular
,
e
e usar
.
Passo 3
Calcular o produto escalar
.
- Os vetores são
e . - Multiplicando componente a componente e somando:
- O valor absoluto é
.
Passo 4
Calcular as normas
e
.
- Para
:
- Para
:
Passo 5
Aplicar a fórmula
.
- Substituindo os valores:
- Assim
. Conhecendo valores notáveis, , que em radianos é . - Observação rápida (checagem): o ângulo entre
e é , logo . Ambos os caminhos dão o mesmo resultado.