Até que ponto se deve prolongar o segmento de reta de extremidades
e
para que se triplique o seu comprimento no sentido de A para
?
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem dois pontos no espaço:
e
. A pergunta é até onde a gente deve prolongar o segmento de reta que vai de A até B para que o comprimento total desse segmento seja triplicado, ou seja, seja três vezes maior que o original. Para resolver isso, vamos usar geometria analítica, especificamente as fórmulas de ponto no espaço e cálculo de distância entre pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o comprimento original do segmento de reta AB. A fórmula para a distância entre dois pontos no espaço
e
é:
Substituindo os valores de A e B:
Passo 3
Agora, queremos que o novo segmento, que vamos chamar de AC, tenha três vezes o comprimento de AB. Então:
Passo 4
Para encontrar o ponto C que está na mesma direção de AB além de B, podemos usar a ideia de vetores. O vetor
é dado por:
Para prolongar AB até C, seguimos a direção de
e multiplicamos por um fator que nos dá a nova distância. Como queremos que
, o fator será 3. Então, as coordenadas de C são:
Resposta
O ponto até onde se deve prolongar o segmento é
.