Até que ponto se deve prolongar o segmento de reta de extremidades A=(1,-1,2) e B=(4,5,6) para que se triplique o seu comprimento no sentido de A para B ?

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem dois pontos no espaço: A = (1, -1, 2) e B = (4, 5, 6) . A pergunta é até onde a gente deve prolongar o segmento de reta que vai de A até B para que o comprimento total desse segmento seja triplicado, ou seja, seja três vezes maior que o original. Para resolver isso, vamos usar geometria analítica, especificamente as fórmulas de ponto no espaço e cálculo de distância entre pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o comprimento original do segmento de reta AB. A fórmula para a distância entre dois pontos no espaço A(x1, y1, z1) e B(x2, y2, z2) é:
AB = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2
Substituindo os valores de A e B:
AB = raiz(4 - 1)^2 + (5 - (-1))^2 + (6 - 2)^2 = raiz3^2 + 6^2 + 4^2 = raiz9 + 36 + 16 = raiz61

Passo 3

Agora, queremos que o novo segmento, que vamos chamar de AC, tenha três vezes o comprimento de AB. Então:
AC = 3 times AB = 3 times raiz61

Passo 4

Para encontrar o ponto C que está na mesma direção de AB além de B, podemos usar a ideia de vetores. O vetor AB é dado por:
AB = (4 - 1, 5 - (-1), 6 - 2) = (3, 6, 4)
Para prolongar AB até C, seguimos a direção de AB e multiplicamos por um fator que nos dá a nova distância. Como queremos que AC = 3 times AB , o fator será 3. Então, as coordenadas de C são:
C = A + 3 times AB = (1, -1, 2) + 3 times (3, 6, 4) = (1 + 9, -1 + 18, 2 + 12) = (10, 17, 14)

Resposta

O ponto até onde se deve prolongar o segmento é C = (10,,17,,14) .

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