1. Passar do sistema cartesiano para o sistema cilindrico.
    (x^2+y^2)^2=z^2(x^2-y^2)

Passo 1

O enunciado pede para reescrever em coordenadas cilíndricas a superfície dada por
l(x^2+y^2r)^2 ;=; z^2,l(x^2-y^2r)
Em coordenadas cilíndricas usamos
x = rcostheta, y = rsintheta, z = z,
onde r>=0 e theta é o ângulo em relação ao eixo x.

Passo 2

Substituímos x^2+y^2 por r^2. Assim o lado esquerdo vira
l(x^2+y^2r)^2 = l(r^2r)^2 = r^4

Passo 3

Calculamos x^2-y^2 em função de r e theta. Temos
x^2-y^2 = r^2cos^2theta ;-; r^2sin^2theta = r^2l(cos^2theta-sin^2thetar) = r^2cos(2theta)

Passo 4

Substituindo no lado direito da equação original:
z^2,(x^2-y^2) = z^2,l(r^2cos(2theta)r) = r^2,z^2cos(2theta)
Logo a equação em cilíndricas fica
r^4 = r^2,z^2cos(2theta)

Passo 5

Para rneq0 podemos dividir ambos os lados por r^2, obtendo a forma mais simples
r^2 = z^2cos(2theta)

Resposta

Em coordenadas cilíndricas (r,theta,z) a superfície é dada por
r^4 = r^2,z^2cos(2theta),
ou, para rneq0, equivalentemente
r^2 = z^2cos(2theta)

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