Até que ponto da reta o segmento de extremos
e
deve ser prolongado no sentido de A para B para que o comprimento quintuplique?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos pede para achar até onde devemos estender o segmento que liga os pontos
e
. O objetivo é prolongar esse segmento na direção de A para B de forma que o comprimento total fique cinco vezes maior que o original. Vamos precisar usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre distância entre pontos e extensão de segmentos.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o comprimento original do segmento
. Para isso, usamos a fórmula da distância entre dois pontos no plano:
Onde
e
.
Passo 3
Aplicando os valores de
e
na fórmula:
Podemos simplificar
para
.
Passo 4
Agora, queremos que o comprimento total seja cinco vezes maior que o original. Então:
Isso significa que o segmento prolongado deve ter um comprimento de
.
Passo 5
Para encontrar o ponto até onde o segmento deve ser prolongado, vamos considerar que estamos movendo a partir de
em direção a
. Podemos usar a fórmula do ponto que divide um segmento em uma razão específica.
Seja
o ponto onde o segmento é prolongado, então a razão em que
divide
é
(já que queremos cinco vezes o comprimento).
A fórmula para encontrar as coordenadas de
é:
Passo 6
Substituindo os valores:
Resposta
O segmento deve ser prolongado até o ponto
para que o comprimento quintuplique.