Até que ponto da reta o segmento de extremos A=(1,-1) e B=(4,5) deve ser prolongado no sentido de A para B para que o comprimento quintuplique?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para achar até onde devemos estender o segmento que liga os pontos A = (1, -1) e B = (4, 5). O objetivo é prolongar esse segmento na direção de A para B de forma que o comprimento total fique cinco vezes maior que o original. Vamos precisar usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre distância entre pontos e extensão de segmentos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o comprimento original do segmento AB. Para isso, usamos a fórmula da distância entre dois pontos no plano:
d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2
Onde (x1, y1) = A e (x2, y2) = B.

Passo 3

Aplicando os valores de A e B na fórmula:
d = raiz(4 - 1)^2 + (5 - (-1))^2 = raiz3^2 + 6^2 = raiz9 + 36 = raiz45
Podemos simplificar raiz45 para 3raiz5.

Passo 4

Agora, queremos que o comprimento total seja cinco vezes maior que o original. Então:
dnovo = 5 times d = 5 times 3raiz5 = 15raiz5
Isso significa que o segmento prolongado deve ter um comprimento de 15raiz5.

Passo 5

Para encontrar o ponto até onde o segmento deve ser prolongado, vamos considerar que estamos movendo a partir de A em direção a B. Podemos usar a fórmula do ponto que divide um segmento em uma razão específica.
Seja C o ponto onde o segmento é prolongado, então a razão em que C divide AB é k = 5 (já que queremos cinco vezes o comprimento).
A fórmula para encontrar as coordenadas de C é:
C = ( xA + k(xB - xA), yA + k(yB - yA) )

Passo 6

Substituindo os valores:
C = ( 1 + 5(4 - 1), -1 + 5(5 - (-1)) ) = ( 1 + 5 times 3, -1 + 5 times 6 ) = ( 1 + 15, -1 + 30 ) = (16, 29)

Resposta

O segmento deve ser prolongado até o ponto C = (16, 29) para que o comprimento quintuplique.

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