O baricentro de um triângulo A B C é o ponto G=(4,0) e M=(2,3) o ponto médio de B C. Achar as coordenadas do vértice A.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem um triângulo ABC onde o baricentro (ou centro de massa) é o ponto G=(4,0). Além disso, sabemos que o ponto M=(2,3) é o ponto médio do lado BC. Nosso desafio é encontrar as coordenadas do vértice A. Para isso, vamos usar conceitos de coordenadas no plano e as propriedades do baricentro e dos pontos médios.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o baricentro. Em um triângulo, o baricentro é o ponto onde as três medianas se encontram. E uma importante propriedade do baricentro é que ele é a média das coordenadas dos três vértices do triângulo. Ou seja, se G=(Gx, Gy) é o baricentro de ABC, temos:
Gx = Ax + Bx + Cx3 Gy = Ay + By + Cy3
No nosso caso, G=(4,0), então:
4 = Ax + Bx + Cx3 0 = Ay + By + Cy3

Passo 3

Agora, vamos utilizar a informação sobre o ponto médio M=(2,3) de BC. O ponto médio de um segmento de reta tem coordenadas que são a média das coordenadas dos seus extremos. Então:
Mx = Bx + Cx2 = 2 My = By + Cy2 = 3
Desse jeito, podemos multiplicar ambos os lados por 2 para encontrar a soma das coordenadas de B e C:
Bx + Cx = 4 By + Cy = 6

Passo 4

Voltando às equações do baricentro:
4 = Ax + Bx + Cx3 0 = Ay + By + Cy3
Multiplicando ambos os lados por 3 para simplificar:
Ax + Bx + Cx = 12 Ay + By + Cy = 0
Agora, sabemos que Bx + Cx = 4 e By + Cy = 6. Podemos substituir esses valores nas equações acima:
Ax + 4 = 12 Ay + 6 = 0
Resolvendo para Ax e Ay:
Ax = 12 - 4 = 8 Ay = 0 - 6 = -6

Resposta

As coordenadas do vértice A são (8,, -6).

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