O baricentro de um triângulo é o ponto e o ponto médio de . Achar as coordenadas do vértice A.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem um triângulo ABC onde o baricentro (ou centro de massa) é o ponto G=(4,0). Além disso, sabemos que o ponto M=(2,3) é o ponto médio do lado BC. Nosso desafio é encontrar as coordenadas do vértice A. Para isso, vamos usar conceitos de coordenadas no plano e as propriedades do baricentro e dos pontos médios.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o baricentro. Em um triângulo, o baricentro é o ponto onde as três medianas se encontram. E uma importante propriedade do baricentro é que ele é a média das coordenadas dos três vértices do triângulo. Ou seja, se G=(Gx, Gy) é o baricentro de ABC, temos:
Gx = Ax + Bx + Cx3 Gy = Ay + By + Cy3
No nosso caso, G=(4,0), então:
4 = Ax + Bx + Cx3 0 = Ay + By + Cy3
Passo 3
Agora, vamos utilizar a informação sobre o ponto médio M=(2,3) de BC. O ponto médio de um segmento de reta tem coordenadas que são a média das coordenadas dos seus extremos. Então:
Mx = Bx + Cx2 = 2 My = By + Cy2 = 3
Desse jeito, podemos multiplicar ambos os lados por 2 para encontrar a soma das coordenadas de B e C:
Bx + Cx = 4 By + Cy = 6
Passo 4
Voltando às equações do baricentro:
4 = Ax + Bx + Cx3 0 = Ay + By + Cy3
Multiplicando ambos os lados por 3 para simplificar:
Ax + Bx + Cx = 12 Ay + By + Cy = 0
Agora, sabemos que Bx + Cx = 4 e By + Cy = 6. Podemos substituir esses valores nas equações acima: