Encontre o ponto P=(x, y) eqüidistante dos pontos P1=(0,-5), P2=(-1,2) e P3=(6,3).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o ponto P = (x, y) que está equidistante dos três pontos P1 = (0, -5) , P2 = (-1, 2) e P3 = (6, 3) . Isso faz parte da geometria analítica, especificamente envolvendo o conceito de circuncentro de um triângulo, que é o ponto que está na mesma distância de todos os vértices.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que o circuncentro é onde se encontram as mediatrizes (ou perpendicular bisectors) dos lados do triângulo. A mediatriz de um segmento de reta é a reta perpendicular que corta esse segmento ao meio. Então, vamos encontrar as mediatrizes de dois lados do triângulo formado por P1 , P2 e P3 .

Passo 3

Vamos começar com o lado entre P1 = (0, -5) e P2 = (-1, 2) . Primeiro, encontramos o ponto médio desse lado:
M12 = ( 0 + (-1)2, -5 + 22 ) = ( -12, -32 )
Agora, calculamos o coeficiente angular do segmento P1P2 :
m12 = 2 - (-5)-1 - 0 = 7-1 = -7
A mediatriz será perpendicular a esse segmento, então seu coeficiente angular será o negativo do inverso de m12 :
mmediatriz 12 = 17
Usando a equação da reta na forma ponto-inclinação ( y - ym = m(x - xm) ):
y + 32 = 17(x + 12)
Simplificando:
y = 17x - 114 - 32 = 17x - 2214 = 17x - 117
Então, a equação da primeira mediatriz é:
y = 17x - 117

Passo 4

Vamos agora encontrar a mediatriz do lado entre P2 = (-1, 2) e P3 = (6, 3) . Primeiro, o ponto médio:
M23 = ( -1 + 62, 2 + 32 ) = ( 52, 52 )
O coeficiente angular do segmento P2P3 :
m23 = 3 - 26 - (-1) = 17
A mediatriz será perpendicular, então:
mmediatriz 23 = -7
Usando a equação da reta:
y - 52 = -7(x - 52)
Simplificando:
y = -7x + 352 + 52 = -7x + 20
Então, a equação da segunda mediatriz é:
y = -7x + 20

Passo 5

Agora, para encontrar o circuncentro [P = (x, y)), precisamos resolver o sistema formado pelas duas mediatrizes:
Igualando as duas expressões para (y]:
Multiplicando tudo por 7 para eliminar os denominadores:
Somando e adicionando 11 aos dois lados:
Então:
Substituindo o valor de na primeira equação para encontrar :

Resposta

O ponto P equidistante dos pontos dados é aproximadamente P = ( 15150, -399350 ) , ou seja, P approx (3,02, -1,14) .

Exercícios relacionados