Encontre o ponto
eqüidistante dos pontos
,
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o ponto
que está equidistante dos três pontos
,
e
. Isso faz parte da geometria analítica, especificamente envolvendo o conceito de circuncentro de um triângulo, que é o ponto que está na mesma distância de todos os vértices.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que o circuncentro é onde se encontram as mediatrizes (ou perpendicular bisectors) dos lados do triângulo. A mediatriz de um segmento de reta é a reta perpendicular que corta esse segmento ao meio. Então, vamos encontrar as mediatrizes de dois lados do triângulo formado por
,
e
.
Passo 3
Vamos começar com o lado entre
e
. Primeiro, encontramos o ponto médio desse lado:
Agora, calculamos o coeficiente angular do segmento
:
A mediatriz será perpendicular a esse segmento, então seu coeficiente angular será o negativo do inverso de
:
Usando a equação da reta na forma ponto-inclinação (
):
Simplificando:
Então, a equação da primeira mediatriz é:
Passo 4
Vamos agora encontrar a mediatriz do lado entre
e
. Primeiro, o ponto médio:
O coeficiente angular do segmento
:
A mediatriz será perpendicular, então:
Usando a equação da reta:
Simplificando:
Então, a equação da segunda mediatriz é:
Passo 5
Agora, para encontrar o circuncentro [P = (x, y)), precisamos resolver o sistema formado pelas duas mediatrizes:
Igualando as duas expressões para (y]:
Multiplicando tudo por 7 para eliminar os denominadores:
Somando
e adicionando 11 aos dois lados:
Então:
Substituindo o valor de
na primeira equação para encontrar
:
Resposta
O ponto
equidistante dos pontos dados é aproximadamente
, ou seja,
.