Calcular as coordenadas dos extremos Ae B do segmento que é dividido em três partes iguais pelos pontos P1=(-1,3) e P2=(1,5).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as coordenadas dos pontos A e B, que são as extremidades de um segmento de reta. Esse segmento é dividido em três partes iguais pelos pontos P1 = (-1, 3) e P2 = (1, 5) . Para isso, vamos usar a fórmula da seção, que ajuda a encontrar pontos que dividem um segmento em uma certa proporção.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como P1 e P2 dividem o segmento AB . Como são três partes iguais, P1 está a um terço do caminho de A até B, e P2 está a dois terços. Isso significa que:
  • P1 divide AB na razão 1:2 (uma parte de A para P1 e duas partes de P1 para B).
  • P2 divide AB na razão 2:1 (duas partes de A para P2 e uma parte de P2 para B).

Passo 3

Vamos usar a fórmula da seção para cada ponto. A fórmula é:
P = ( m cdot x2 + n cdot x1m + n, m cdot y2 + n cdot y1m + n )
Onde P é o ponto que divide o segmento na razão m:n , e A = (x1, y1) , B = (x2, y2) .

Passo 4

Para P1 = (-1, 3) , a razão é 1:2. Substituindo na fórmula:
(-1, 3) = ( 1 cdot x2 + 2 cdot x13, 1 cdot y2 + 2 cdot y13 )
Isso nos dá duas equações:
x2 + 2x13 = -1 Rightarrow x2 + 2x1 = -3
y2 + 2y13 = 3 Rightarrow y2 + 2y1 = 9

Passo 5

Para P2 = (1, 5) , a razão é 2:1. Aplicando a fórmula:
(1, 5) = ( 2 cdot x2 + 1 cdot x13, 2 cdot y2 + 1 cdot y13 )
Novamente, temos duas equações:
2x2 + x13 = 1 Rightarrow 2x2 + x1 = 3
2y2 + y13 = 5 Rightarrow 2y2 + y1 = 15

Passo 6

Agora, vamos resolver o sistema de equações para encontrar x1, x2, y1, y2 .
Para as coordenadas x:
  1. x2 + 2x1 = -3 \
  2. 2x2 + x1 = 3
Da primeira equação, isolamos x2 :
x2 = -3 - 2x1
Substituímos na segunda equação:
2(-3 - 2x1) + x1 = 3 -6 - 4x1 + x1 = 3 -6 - 3x1 = 3 -3x1 = 9 x1 = -3
Agora, substituímos x1 = -3 na equação de x2 :
x2 = -3 - 2(-3) = -3 + 6 = 3
Para as coordenadas y:
3. y2 + 2y1 = 9 \
4. 2y2 + y1 = 15
Da terceira equação, isolamos y2 :
y2 = 9 - 2y1
Substituímos na quarta equação:
2(9 - 2y1) + y1 = 15 18 - 4y1 + y1 = 15 18 - 3y1 = 15 -3y1 = -3 y1 = 1
Agora, substituímos y1 = 1 na equação de y2 :
y2 = 9 - 2(1) = 9 - 2 = 7

Resposta

As coordenadas dos extremos do segmento são:
A = (-3, 1) e B = (3, 7)

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