Calcular o centro da circunferência circunscrita ao triângulo de vértices A=(5,-6), B=(1,2) e C=(3,-4).

Passo 1

O enunciado dá um triângulo com vértices A=(5,-6), B=(1,2) e C=(3,-4), e pede o centro da circunferência circunscrita (o circuncentro). Vamos usar que o circuncentro é a interseção das mediatrizes dos lados, ou seja, as retas perpendiculares aos lados que passam pelos seus pontos médios.

Passo 2

Calculamos a mediatriz de AB.
O ponto médio de AB é
MAB = l(5+12,;-6+22r) = (3,-2)
A inclinação de AB é
mAB = 2 - (-6)1 - 5 = 8-4 = -2,
então a mediatriz terá inclinação
m1 = -1mAB = 12
A equação da mediatriz de AB, em forma ponto-inclinação, é
y - (-2) = 12,(x - 3),
ou seja
y = 12 x - 72

Passo 3

Agora a mediatriz de AC.
O ponto médio de AC é
MAC = l(5+32,;-6 + (-4)2r) = (4,-5)
A inclinação de AC é
mAC = -4 - (-6)3 - 5 = 2-2 = -1,
logo a mediatriz tem inclinação
m2 = -1mAC = 1
A equação da mediatriz de AC é
y - (-5) = 1,(x - 4),
ou seja
y = x - 9

Passo 4

Encontramos o circuncentro resolvendo o sistema
y = tfrac12 x - tfrac72, y = x - 9
Igualando as duas expressões para y:
x - 9 = 12 x - 72 Longrightarrow 12 x = 112 Longrightarrow x = 11
Então
y = 11 - 9 = 2

Resposta

O centro da circunferência circunscrita é (11,2).

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