Até que ponto o segmento de extremos A(1,-1) e B(4,5) deve ser prolongado no sentido de A para B, para que seu comprimento triplique?

Passo 1

A questão dá os pontos A(1,–1) e B(4,5) e pede para prolongar o segmento no sentido de A para B até triplicar o comprimento original. O conteúdo aqui é geometria analítica usando vetores e parâmetro de reta.

Passo 2

Vamos usar vetores para representar o segmento. Primeiro, o vetor AB é dado por B–A.
O vetor AB é
AB = B - A = (4-1,;5 -(-1)) = (3,;6)

Passo 3

O comprimento de AB é
|AB| = raiz3^2 + 6^2 = raiz9 + 36 = raiz45 = 3raiz5

Passo 4

Para encontrar um ponto C no prolongamento de AB tal que AC = 3·AB, usamos a forma paramétrica da reta:
C = A + t,(B - A)
O comprimento AC será |AC| = t·|AB|. Queremos |AC| = 3·|AB|, logo t = 3.

Passo 5

Substituindo t = 3 em C = A + 3·(B–A) temos
C = (1, -1) + 3,(3, 6) = (1 + 9, -1 + 18) = (10, 17)

Resposta

O segmento deve ser prolongado até o ponto C(10,17).

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