Determinar as coordenadas do foco, amplitude focal e a equação da diretriz das parábolas:
3 y^2=-4 x

Passo 1

O enunciado dá a parábola
3y^2 = -4x
e pede as coordenadas do foco, a amplitude focal (largura do latus rectum) e a equação da diretriz. Lembrando que, para uma parábola com eixo paralelo ao eixo x, a forma canônica é
y^2 = 4p,x,
onde p é a distância do vértice ao foco.

Passo 2

Vamos isolar y^2. A equação fica
y^2 = -43,x

Passo 3

Comparando com y^2 = 4p,x, identificamos
4p = -43 Longrightarrow p = -13

Passo 4

Sabendo p = -tfrac13, concluímos que a parábola abre para a esquerda. O foco, medido a partir da origem (vértice em (0,0)), é
l(p,0r) = l(-tfrac13,0r)
A diretriz é a reta vertical
x = -p = 13

Passo 5

A amplitude focal (largura do latus rectum) é lvert 4prvert. Logo,
amplitude focal = llvert 4cdot(-tfrac13)rrvert = 43

Resposta

Foco: l(-tfrac13,0r)
Amplitude focal: tfrac43
Diretriz: x = tfrac13

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