Atenção: Justifique todas as suas respostas. Considere que foi fixado um Sistema de coordenadas cartesiano
\sum=(O, E)
para o espaço, onde o ponto O é a origem e E é uma base ortonormal positiva.
Determine uma equação vetorial para a reta s que contém o ponto P= (2,-1,1) e é perpendicular à reta r:\left\{\begin{array}{ll}x & =1-\lambda \\\ y & =2 \lambda \\\ z & =4+\lambda\end{array}\right..

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:
  • Foi fixado um sistema de coordenadas \sum=(O,E)\). - O ponto \(P\) tem coordenadas \(P=(2,-1,1)\). - A reta \(r\) está dada pela forma paramétrica \[r:\begin{cases} x = 1-\lambda,\\[4pt] y = 2\lambda,\\[4pt] z = 4+\lambda, \end{cases}
com parâmetro (\lambda\in\mathbb{R}].
O problema pede: determinar uma equação vetorial para a reta s que contém o ponto P e é perpendicular à reta r. É exigido justificar todas as respostas.]

Passo 2

Entendimento do que significa "reta s é perpendicular à reta r e contém P". Em espaço tridimensional, duas retas são perpendiculares exatamente quando elas se intersectam e o ângulo entre as suas direções é 90^\circ. Portanto, para encontrar s devemos:
  1. Encontrar um ponto Q sobre r tal que o segmento \overrightarrow{PQ} seja perpendicular ao vetor diretor de r.
  2. Então a reta s será a reta que passa por P com direção dada por \overrightarrow{PQ}.
Vou seguir esse plano e justificar cada passo.

Passo 3

Obter o vetor diretor da reta r. A forma paramétrica de r tem coeficientes do parâmetro \lambda que dão o vetor diretor. Das equações
x=1-\lambda,\qquad y=2\lambda,\qquad z=4+\lambda
vemos que, quando \lambda varia de 0 para 1, as coordenadas mudam por (-1,2,1). Assim o vetor diretor de r é
\vec{d} = \langle -1,\,2,\,1\rangle.
Explicação rápida do conceito usado: o vetor diretor de uma reta paramétrica (x,y,z)=(x_0,y_0,z_0)+\lambda\vec{d} é o vetor \vec{d} que indica a direção em que a reta se alonga. Aqui extraímos \vec{d} diretamente dos coeficientes de \lambda.

Passo 4

Expressar um ponto genérico Q de r em função do parâmetro \lambda. Usando a equação paramétrica dada, um ponto Q\in r é
Q(\lambda)=\bigl(1-\lambda,\;2\lambda,\;4+\lambda\bigr).
O vetor \overrightarrow{PQ(\lambda)} que vai de P até esse ponto Q(\lambda) é
\overrightarrow{PQ(\lambda)} = Q(\lambda)-P = \bigl(1-\lambda-2,\;2\lambda-(-1),\;4+\lambda-1\bigr).
Calculando cada componente:
\overrightarrow{PQ(\lambda)} = \langle -1-\lambda,\;2\lambda+1,\;3+\lambda\rangle.

Passo 5

Impor a condição de perpendicularidade entre \overrightarrow{PQ(\lambda)} e o vetor diretor \vec{d}. Duas retas (que se encontram) são perpendiculares quando seus vetores diretores têm produto escalar zero. Assim exigimos
\overrightarrow{PQ(\lambda)}\cdot\vec{d}=0.
Substituindo os vetores:
\langle -1-\lambda,\;2\lambda+1,\;3+\lambda\rangle\cdot\langle -1,\,2,\,1\rangle = 0.
Calcule o produto escalar componente a componente:
(-1-\lambda)(-1) + (2\lambda+1)\cdot 2 + (3+\lambda)\cdot 1 = 0.
Desenvolvendo:
(1+\lambda) + (4\lambda+2) + (3+\lambda) = 0.
Agrupando termos semelhantes:
(1+2+3) + (\lambda+4\lambda+\lambda) = 0 \quad\Rightarrow\quad 6 + 6\lambda = 0.
Daí
6\lambda = -6 \quad\Rightarrow\quad \lambda = -1.
Justificativa: a equação linear em \lambda tem solução única, o que significa que existe exatamente um ponto Q\in r tal que \overrightarrow{PQ} é perpendicular a \vec{d}. Isso coincide com a ideia geométrica de que existe uma única perpendicular comum que sai de um ponto dado e atinge uma reta (o pé da perpendicular).

Passo 6

Determinar o ponto Q substituindo \lambda=-1 em Q(\lambda). Assim
Q = Q(-1) = \bigl(1-(-1),\;2(-1),\;4+(-1)\bigr) = (2,\,-2,\,3).
Calcular o vetor direção de s como \overrightarrow{PQ} = Q-P:
\overrightarrow{PQ} = \langle 2-2,\; -2-(-1),\;3-1\rangle = \langle 0,\,-1,\,2\rangle.
Verificação de perpendicularidade (checar a conta): o produto escalar
\langle 0,-1,2\rangle\cdot\langle -1,2,1\rangle = 0\cdot(-1) + (-1)\cdot 2 + 2\cdot 1 = -2+2 = 0,
confirmando que \overrightarrow{PQ} é ortogonal a \vec{d}.

Passo 7

Construir a equação vetorial da reta s\). A reta \(s\) passa por \(P=(2,-1,1)\) e tem vetor diretor \(\vec{u}=\overrightarrow{PQ}=\langle 0,-1,2\rangle\). A equação vetorial paramétrica de \(s\) é, tomando parâmetro \(t\in\mathbb{R}\), \[s:\quad \vec{r}(t)=\langle 2,\,-1,\,1\rangle + t\langle 0,\,-1,\,2\rangle.
Em coordenadas paramétricas isso equivale a
\begin{cases} x = 2,\\[4pt] y = -1 - t,\\[4pt] z = 1 + 2t. \end{cases}
Justificação final: a reta definida assim passa por P\] quando \(t=0 e sua direção \langle 0,-1,2\rangle é perpendicular ao vetor diretor de r, logo s contém P e é perpendicular a r. A unicidade do ponto Q encontrado garante que essa é a única reta através de P que intersecta r formando ângulo reto (o pé da perpendicular).]

Resposta

\displaystyle s:\\ \vec{r}(t)=\langle 2,\,-1,\,1\rangle + t\langle 0,\,-1,\,2\rangle

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