Considere os vetores \vec{u}=(1,1,1,2), \vec{v}=(2,1,-1,1), \vec{w}=(2,2,-1,1) e \vec{h}=(1,-2,-2,-1). Mostre que \vec{h} \in \mathcal{L}\{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}. Determine um vetor do \mathbb{R}^{4} que nāo pertence a \mathcal{L}\{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}.

Passo 1

O enunciado dá os vetores
\vec{u}=(1,1,1,2), \vec{v}=(2,1,-1,1), \vec{w}=(2,2,-1,1) e \vec{h}=(1,-2,-2,-1).
As perguntas são:
  • Mostrar que \vec{h}\in\mathcal{L}\{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\} (ou seja, escrever \vec{h} como combinação linear de \vec{u},\vec{v},\vec{w}).
  • Determinar um vetor de \mathbb{R}^4 que NÃO pertença a \mathcal{L}\{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\}.

Passo 2

Entendendo o que significa “mostrar que \vec{h} está no span”: existe escalares a,b,c\in\mathbb{R} tais que
a\vec{u}+b\vec{v}+c\vec{w}=\vec{h}.
Vamos colocar isso componente a componente e obter um sistema linear para a,b,c. Seja
a(1,1,1,2)+b(2,1,-1,1)+c(2,2,-1,1)=(1,-2,-2,-1).

Passo 3

Escrevendo as quatro equações (uma por componente) obtemos:
\begin{cases} a+2b+2c=1,\\[4pt] a+b+2c=-2,\\[4pt] a-b-c=-2,\\[4pt] 2a+b+c=-1. \end{cases}
Agora resolvemos esse sistema passo a passo. Subtraindo a segunda equação da primeira:
(a+2b+2c)-(a+b+2c)=1-(-2)\quad\Rightarrow\quad b=3.
Com b=3, substituímos na segunda equação:
a+3+2c=-2\quad\Rightarrow\quad a+2c=-5\quad\Rightarrow\quad a=-5-2c.
Usando a terceira equação a-b-c=-2 com b=3 e a=-5-2c:
(-5-2c)-3-c=-2\quad\Rightarrow\quad -8-3c=-2\quad\Rightarrow\quad -3c=6\quad\Rightarrow\quad c=-2.
Logo c=-2. Então a=-5-2(-2)=-5+4=-1.
Verificamos na quarta equação: 2a+b+c=2(-1)+3+(-2)=-2+3-2=-1 que bate com o lado direito. Portanto a solução é
a=-1,\qquad b=3,\qquad c=-2.]

Passo 4

Com os coeficientes encontrados, escrevemos explicitamente a combinação linear para conferir:
-1\cdot\vec{u}+3\cdot\vec{v}-2\cdot\vec{w} = -1(1,1,1,2)+3(2,1,-1,1)-2(2,2,-1,1).
Calculando componente a componente:
(-1, -1, -1, -2)+(6,3,-3,3)+(-4,-4,2,-2)=(1,-2,-2,-1)=\vec{h}.
Portanto \vec{h}=-\vec{u}+3\vec{v}-2\vec{w} e assim \vec{h}\in\mathcal{L}\{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\}.

Passo 5

Agora precisamos dar um exemplo de vetor em \mathbb{R}^4 que NÃO esteja no span. Uma maneira prática: achar um vetor não-nulo \vec{z}=(z_1,z_2,z_3,z_4) que seja ortogonal a \vec{u},\vec{v},\vec{w}; ou seja, resolver
\vec{z}\cdot\vec{u}=0,\qquad \vec{z}\cdot\vec{v}=0,\qquad \vec{z}\cdot\vec{w}=0.
Se \vec{z}\neq\vec{0} satisfaz isso, então todo vetor do span tem produto interno zero com \vec{z}; em particular qualquer vetor com produto interno não nulo com \vec{z} não pode estar no span. Além disso, se \vec{z} fosse do span, então \vec{z}\cdot\vec{z}=0 forçaria \vec{z}=\vec{0}, então um \vec{z}\neq\vec{0} ortogonal ao span prova que o span não é todo \mathbb{R}^4.

Passo 6

Escrevendo as equações \vec{z}\cdot\vec{u}=0\), \(\vec{z}\cdot\vec{v}=0\), \(\vec{z}\cdot\vec{w}=0\) temos: \[\begin{cases} z_1+z_2+z_3+2z_4=0,\\[4pt] 2z_1+z_2-z_3+z_4=0,\\[4pt] 2z_1+2z_2-z_3+z_4=0. \end{cases}
Subtraindo a segunda da terceira obtemos z_2=0\]. Com \(z_2=0, a primeira e segunda tornam-se
z_1+z_3+2z_4=0,\qquad 2z_1-z_3+z_4=0.
Dessas equações segue z_1=-z_4 e z_3=-z_4. Tomando z_4=1 (escolha simples), obtemos um vetor não-nulo ortogonal ao span:
\vec{z}=(-1,0,-1,1).
Como \vec{z}\neq\vec{0} e \vec{z} é ortogonal a todo vetor do span, \vec{z} não pertence a \mathcal{L}\{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\}. (Isto também mostra que \dim\mathcal{L}\{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\}=3, já que existe uma direção não alcançada no \mathbb{R}^4.)]

Resposta

\vec{h}=-\vec{u}+3\vec{v}-2\vec{w}.
\;(-1,0,-1,1)

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