Atenção: Justifique todas as suas respostas. Considere que foi fixado um Sistema de coordenadas cartesiano \sum=(O, E)
para o espaço, onde o ponto O é a origem e E é uma base ortonormal positiva.
Considere a reta r: X=(5,1,3)+\lambda(-1,4,1) e o plano \pi: 2 x+y-2 z-8=0.
Determine r \cap \pi e a distância entre r e \pi.
Passo 1
Vou escrever claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Determinar r\cap\pi (interseção entre a reta e o plano).
Calcular a distância entre r e \pi.
Passo 2
Teste se a reta intersecta o plano substituindo as coordenadas paramétricas de r na equação de \pi. Isso significa substituir x=5-\lambda, y=1+4\lambda, z=3+\lambda em
Conclusão sobre a interseção: como a igualdade leva a uma contradição (-3=0), não existe nenhum \lambda que torne um ponto de r pertencente a \pi. Portanto
r\cap\pi=\varnothing.
Justificação alternativa (intuitiva e útil): o vetor direção da reta é \mathbf{v}=(-1,4,1) e o vetor normal do plano é \mathbf{n}=(2,1,-2). Calculando o produto escalar
Como \mathbf{v}\cdot\mathbf{n}=0, o vetor direção da reta é ortogonal ao normal do plano, isto é, \mathbf{v} é paralela ao próprio plano. Logo a reta é paralela ao plano. Como o ponto inicial (5,1,3) não satisfaz a equação do plano (veja que ao substituir obtivemos -3\neq0), a reta é paralela e distinta do plano, confirmando r\cap\pi=\varnothing.
Passo 5
Agora calcular a distância entre r e \pi. Observação importante: se uma reta é paralela a um plano, a distância entre a reta e o plano é igual à distância de qualquer ponto da reta ao plano (essa distância é constante ao longo da reta). Então basta calcular a distância do ponto P_0=(5,1,3) (um ponto de r) até o plano \pi.
Vou lembrar e explicar a fórmula da distância de um ponto P_0=(x_0,y_0,z_0) ao plano ax+by+cz+d=0:
Seja \mathbf{n}=(a,b,c) o vetor normal ao plano.
Se Q é um ponto qualquer do plano, o vetor \overrightarrow{Q P_0} = P_0-Q tem componente na direção normal dada por \dfrac{|\mathbf{n}\cdot(P_0-Q)|}{\|\mathbf{n}\|}.
Como \mathbf{n}\cdot Q = -d para qualquer Q no plano, tem-se
Nesta fórmula: a,b,c são as componentes do normal do plano, d é o termo constante da equação do plano, e \|\mathbf{n}\|=\sqrt{a^2+b^2+c^2} é a norma do vetor normal.
Passo 6
Aplicando a fórmula ao nosso caso. Para \pi temos a=2, b=1, c=-2 e d=-8. Para P_0=(5,1,3) calculamos o numerador:
a x_0+b y_0+c z_0+d = 2\cdot5+1\cdot1+(-2)\cdot3-8 = 10+1-6-8 = -3.