Atenção: Justifique todas as suas respostas. Considere que foi fixado um Sistema de coordenadas cartesiano
\sum=(O, E)
para o espaço, onde o ponto O é a origem e E é uma base ortonormal positiva.
Considere a reta r: X=(5,1,3)+\lambda(-1,4,1) e o plano
\pi: 2 x+y-2 z-8=0.
Determine r \cap \pi e a distância entre r e \pi.

Passo 1

Vou escrever claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados (pegos do enunciado):
    • A reta r é dada parametricamente por
    X=(5,1,3)+\lambda(-1,4,1),\qquad \lambda\in\mathbb{R},
    ou seja, um ponto de r tem coordenadas
    x=5-\lambda,\quad y=1+4\lambda,\quad z=3+\lambda.
    • O plano \pi é dado pela equação cartesiana
    2x+y-2z-8=0.
  • O enunciado pede:
    1. Determinar r\cap\pi (interseção entre a reta e o plano).
    2. Calcular a distância entre r e \pi.

Passo 2

Teste se a reta intersecta o plano substituindo as coordenadas paramétricas de r na equação de \pi. Isso significa substituir x=5-\lambda, y=1+4\lambda, z=3+\lambda em
2x+y-2z-8=0
e resolver para \lambda.
Substituindo:
2(5-\lambda)+(1+4\lambda)-2(3+\lambda)-8=0.

Passo 3

Calculemos passo a passo a expressão acima:
2(5-\lambda)=10-2\lambda,
1+4\lambda=1+4\lambda,
-2(3+\lambda)=-6-2\lambda.
Somando tudo e subtraindo 8:
(10-2\lambda)+(1+4\lambda)+(-6-2\lambda)-8 = (10+1-6-8)+(-2\lambda+4\lambda-2\lambda).
Os termos constantes somam
10+1-6-8=-3,
e os coeficientes de \lambda somam
-2\lambda+4\lambda-2\lambda=0.
Logo a substituição dá a equação
-3=0,
que é impossível.

Passo 4

Conclusão sobre a interseção: como a igualdade leva a uma contradição ( -3=0), não existe nenhum \lambda que torne um ponto de r pertencente a \pi. Portanto
r\cap\pi=\varnothing.
Justificação alternativa (intuitiva e útil): o vetor direção da reta é \mathbf{v}=(-1,4,1) e o vetor normal do plano é \mathbf{n}=(2,1,-2). Calculando o produto escalar
\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}=(-1)\cdot2+4\cdot1+1\cdot(-2)=-2+4-2=0.
Como \mathbf{v}\cdot\mathbf{n}=0, o vetor direção da reta é ortogonal ao normal do plano, isto é, \mathbf{v} é paralela ao próprio plano. Logo a reta é paralela ao plano. Como o ponto inicial (5,1,3) não satisfaz a equação do plano (veja que ao substituir obtivemos -3\neq0), a reta é paralela e distinta do plano, confirmando r\cap\pi=\varnothing.

Passo 5

Agora calcular a distância entre r e \pi. Observação importante: se uma reta é paralela a um plano, a distância entre a reta e o plano é igual à distância de qualquer ponto da reta ao plano (essa distância é constante ao longo da reta). Então basta calcular a distância do ponto P_0=(5,1,3) (um ponto de r) até o plano \pi.
Vou lembrar e explicar a fórmula da distância de um ponto P_0=(x_0,y_0,z_0) ao plano ax+by+cz+d=0:
  • Seja \mathbf{n}=(a,b,c) o vetor normal ao plano.
  • Se Q é um ponto qualquer do plano, o vetor \overrightarrow{Q P_0} = P_0-Q tem componente na direção normal dada por \dfrac{|\mathbf{n}\cdot(P_0-Q)|}{\|\mathbf{n}\|}.
  • Como \mathbf{n}\cdot Q = -d para qualquer Q no plano, tem-se
\mathbf{n}\cdot(P_0-Q)=\mathbf{n}\cdot P_0-(\mathbf{n}\cdot Q)=a x_0+b y_0+c z_0-(-d)=a x_0+b y_0+c z_0+d.
  • Portanto a distância do ponto ao plano é
\mathrm{dist}(P_0,\pi)=\frac{|a x_0+b y_0+c z_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.
Nesta fórmula: a,b,c são as componentes do normal do plano, d é o termo constante da equação do plano, e \|\mathbf{n}\|=\sqrt{a^2+b^2+c^2} é a norma do vetor normal.

Passo 6

Aplicando a fórmula ao nosso caso. Para \pi temos a=2, b=1, c=-2 e d=-8. Para P_0=(5,1,3) calculamos o numerador:
a x_0+b y_0+c z_0+d = 2\cdot5+1\cdot1+(-2)\cdot3-8 = 10+1-6-8 = -3.
O valor absoluto é |-3|=3.
O denominador é
\sqrt{a^2+b^2+c^2}=\sqrt{2^2+1^2+(-2)^2}=\sqrt{4+1+4}=\sqrt{9}=3.
Logo a distância do ponto P_0 ao plano \pi é
\mathrm{dist}(P_0,\pi)=\frac{3}{3}=1.

Resposta

r\cap\pi=\varnothing
\mathrm{dist}(r,\pi)=1

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