Atenção: na questão 1, decida se cada item é certo (C) ou errado (E), assinalando sua resposta no espaço ao lado do item e justificando a sua resposta.
O método de redução de ordem pode ser aplicado à equações em que os coeficientes não são constantes. Por exemplo, pode ser aplicado à equação
\text { (*) } t^{2} y^{\prime \prime}-t(t+2) y^{\prime}+(t+2) y=0, \quad t>0 \text {. }
a) A função y_{1}(t)=t é solução de ().
b) Usando o método de redução de ordem, isto é, tentando outra solução na forma y_{2}(t)=v(t) y_{1}(t), tem-se que y_{2}(t)=t \mathrm{e}^{-t}.
c) O wronskiano W\left(y_{1}, y_{2}\right)(t) em t=3 é 3 e^{3}.
d) F(t)=3 t-t \mathrm{e}^{t-1} é solução de (
) e satisfaz F(1)=2 e F^{\prime}(1)=1.
E) y(t)=a y_{1}(t)+b y_{2}(t) é solução de (*) para quaisquer a, b \in \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado trata da equação linear de segunda ordem com coeficientes não constantes
t^{2}y''-t(t+2)y'+(t+2)y=0,\quad t>0
e pede para decidir se cada afirmação é certa (C) ou errada (E). Vamos usar:
  1. Substituição direta para testar soluções dadas.
  2. Método de redução de ordem para achar a segunda solução independente.
  3. Cálculo do wronskiano.
  4. Verificação direta de uma função candidata.
  5. Princípio da superposição em equações lineares homogêneas.

Passo 2

Item (a): testar y_{1}(t)=t.
Temos
y_{1}'=1,\qquad y_{1}''=0.
Substituindo na equação:
t^{2}\cdot0 - t(t+2)\cdot1 + (t+2)\cdot t = -t^{2}-2t + t^{2}+2t = 0.
Logo y_{1}(t)=t satisfaz (*) e (a) é Certa (C).

Passo 3

Item (b): usar y_{2}=v(t)\,y_{1}(t)=v(t)\,t.
Calculamos
y_{2}'=v'\,t+v,\qquad y_{2}''=v''\,t+2v'.
Substituindo em (*) e simplificando resulta
v''-v'=0\quad\Longrightarrow\quad v' = A e^{t} \quad\Longrightarrow\quad v = A e^{t}+B.
A parte B gera múltiplo de y_{1}, a solução nova é
y_{2}(t)=t\,e^{t},
não t\,e^{-t}. Portanto o item (b) é Errado (E).

Passo 4

Item (c): calcular o wronskiano de y_{1}(t)=t e da função proposta em (b), y_{2}(t)=t e^{-t}.
W(t)= \begin{vmatrix} t & t e^{-t}\\\\ 1 & \frac{d}{dt}(t e^{-t}) \end{vmatrix} = t\bigl(e^{-t}(1-t)\bigr)-t e^{-t}\cdot1 = -t^{2}e^{-t}.
Em t=3 W(3)=-9e^{-3}, não 3e^{3}. Logo (c) é Errado (E).

Passo 5

Item (d): testar
F(t)=3t - t e^{t-1}.
Primeiro as condições em t=1:
F(1)=3\cdot1 -1\cdot e^{0}=3-1=2,
F'(t)=3 -\frac{d}{dt}\bigl(t e^{t-1}\bigr) =3 -\bigl(e^{t-1}+t e^{t-1}\bigr) =3 -e^{t-1}(1+t),
F'(1)=3 -e^{0}\cdot2=3-2=1.
Agora checar na equação () calculando F'' e fazendo a combinação t^{2}F''-t(t+2)F'+(t+2)F. Ao final todos os termos em e^{t-1} e os termos livres se cancelam, dando zero. Logo F resolve () e satisfaz as condições, de modo que (d) é Certa (C).

Passo 6

Item (e): como o ODE é linear e homogêneo, a soma y(t)=a\,y_{1}(t)+b\,y_{2}(t) de quaisquer duas soluções é também solução. Assim (e) é Certa (C).

Resposta

(a) C
(b) E
(c) E
(d) C
(e) C

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