Atenção: na questão 1, decida se cada item é certo (C) ou errado (E), assinalando sua resposta no espaço ao lado do item e justificando a sua resposta.
O método de redução de ordem pode ser aplicado à equações em que os coeficientes não são constantes. Por exemplo, pode ser aplicado à equação
a) A função y_{1}(t)=t é solução de ().
b) Usando o método de redução de ordem, isto é, tentando outra solução na forma y_{2}(t)=v(t) y_{1}(t), tem-se que y_{2}(t)=t \mathrm{e}^{-t}.
c) O wronskiano W\left(y_{1}, y_{2}\right)(t) em t=3 é 3 e^{3}.
d) F(t)=3 t-t \mathrm{e}^{t-1} é solução de () e satisfaz F(1)=2 e F^{\prime}(1)=1.
E) y(t)=a y_{1}(t)+b y_{2}(t) é solução de (*) para quaisquer a, b \in \mathbb{R}.
Passo 1
O enunciado trata da equação linear de segunda ordem com coeficientes não constantes
t^{2}y''-t(t+2)y'+(t+2)y=0,\quad t>0
e pede para decidir se cada afirmação é certa (C) ou errada (E). Vamos usar:
Substituição direta para testar soluções dadas.
Método de redução de ordem para achar a segunda solução independente.
Cálculo do wronskiano.
Verificação direta de uma função candidata.
Princípio da superposição em equações lineares homogêneas.
Agora checar na equação () calculando F'' e fazendo a combinação t^{2}F''-t(t+2)F'+(t+2)F. Ao final todos os termos em e^{t-1} e os termos livres se cancelam, dando zero. Logo F resolve () e satisfaz as condições, de modo que (d) é Certa (C).
Passo 6
Item (e): como o ODE é linear e homogêneo, a soma y(t)=a\,y_{1}(t)+b\,y_{2}(t) de quaisquer duas soluções é também solução. Assim (e) é Certa (C).