A equação de Euler
aparece no estudo da temperatura de uma chapa circular. Uma questão importante é verificar se essa equação possui soluções limitadas em
, isto é, soluções
tais que, para algum
, tem-se
. Neste sentido, apesar de não serem constantes, os coeficientes têm uma simetria que sugere soluções na forma indicada a seguir.
a) Verifique que a equação é linear, isto é, que se
e
são soluções e
e
são constantes, então
é também solução da equação.
b) Verifique que existem soluções na forma
, desde que
seja raiz de um polinômio do segundo grau. Calcule essas raízes e as soluções correspondentes.
c) Use os itens anteriores para obter uma solução que satisfaz
e
.
d) Em geral, obtenha solução que satisfaz
e
, com
e
constantes.
e) Determine condições em
e
para que a solução acima seja limitada em
.
a) Verifique que a equação é linear, isto é, que se
b) Verifique que existem soluções na forma
c) Use os itens anteriores para obter uma solução que satisfaz
d) Em geral, obtenha solução que satisfaz
e) Determine condições em
Passo 1
O enunciado trata da equação de Euler
e pergunta sobre suas soluções lineares, a forma
, condições em
e
e critérios de limitabilidade em
. Para resolver usaremos: (i) a linearidade de operadores lineares de segunda ordem, (ii) o método do coeficiente indicial
, (iii) superposição de soluções e (iv) análise de comportamento em
.
Passo 2
Para mostrar que a equação é linear basta notar que o operador
satisfaz
e se
e
, então
. Logo
também é solução.
Passo 3
Procuramos soluções da forma
. Então
Substituindo em
:
O coeficiente indicial satisfaz
cuja raízes são
Logo duas soluções independentes são
Passo 4
A solução geral é
Para satisfazer
O sistema
dá
. Portanto
Passo 5
Em geral, impondo
e
, temos
Subtraindo as equações:
conduz a
Logo
Passo 6
Para que
seja limitada em
, deve desaparecer o termo singular
. Ou seja
Sob essa condição
é limitada em
.
Resposta
As condições para a solução ser limitada em
são