A equação de Euler
x^{2} y^{\prime \prime}(x)+2 x y^{\prime}(x)-2 y(x)=0, \quad x>0
aparece no estudo da temperatura de uma chapa circular. Uma questão importante é verificar se essa equação possui soluções limitadas em (0,1], isto é, soluções y(x) tais que, para algum K>0, tem-se |y(x)| \leq K \forall x \in(0,1]. Neste sentido, apesar de não serem constantes, os coeficientes têm uma simetria que sugere soluções na forma indicada a seguir.
a) Verifique que a equação é linear, isto é, que se y_{0}(x) e y_{1}(x) são soluções e a e b são constantes, então y(x)=a y_{0}(x)+b y_{1}(x) é também solução da equação.
b) Verifique que existem soluções na forma y(x)=x^{r}, desde que r seja raiz de um polinômio do segundo grau. Calcule essas raízes e as soluções correspondentes.
c) Use os itens anteriores para obter uma solução que satisfaz y(1)=1 e y^{\prime}(1)=4.
d) Em geral, obtenha solução que satisfaz y(1)=c e y^{\prime}(1)=d, com c e d constantes.
e) Determine condições em c e d para que a solução acima seja limitada em (0,1].

Passo 1

O enunciado trata da equação de Euler
x^{2}y''(x)+2x\,y'(x)-2y(x)=0,\quad x>0,
e pergunta sobre suas soluções lineares, a forma y=x^r, condições em y(1) e y'(1) e critérios de limitabilidade em (0,1]. Para resolver usaremos: (i) a linearidade de operadores lineares de segunda ordem, (ii) o método do coeficiente indicial y=x^r, (iii) superposição de soluções e (iv) análise de comportamento em x\to0^+.

Passo 2

Para mostrar que a equação é linear basta notar que o operador
L[y]=x^{2}y''+2x\,y'-2y
satisfaz
L[a\,y_{0}+b\,y_{1}]=a\,L[y_{0}]+b\,L[y_{1}],
e se L[y_{0}]=0 e L[y_{1}]=0, então L[a\,y_{0}+b\,y_{1}]=0. Logo a\,y_{0}+b\,y_{1} também é solução.

Passo 3

Procuramos soluções da forma y(x)=x^{r}. Então
y'(x)=r\,x^{r-1},\quad y''(x)=r(r-1)x^{r-2}.
Substituindo em L[y]=0:
x^{2}\bigl[r(r-1)x^{r-2}\bigr]+2x\bigl[r\,x^{r-1}\bigr]-2x^{r}=0 \quad\Longrightarrow\quad \bigl[r(r-1)+2r-2\bigr]x^{r}=0.
O coeficiente indicial satisfaz
r^{2}+r-2=0,
cuja raízes são
r_{1}=1,\quad r_{2}=-2.
Logo duas soluções independentes são
y_{1}(x)=x,\quad y_{2}(x)=x^{-2}.

Passo 4

A solução geral é
y(x)=A\,x+B\,x^{-2}.
Para satisfazer y(1)=1\) e \(y'(1)=4\) calculamos \[y(1)=A+B=1,
y'(x)=A-2B\,x^{-3} \;\Longrightarrow\; y'(1)=A-2B=4.
O sistema
\begin{cases} A+B=1,\\\ A-2B=4 \end{cases}
B=-1\] e \(A=2. Portanto
y(x)=2x - x^{-2}.

Passo 5

Em geral, impondo y(1)=c e y'(1)=d, temos
A+B=c, \quad A-2B=d.
Subtraindo as equações: -3B=d-c conduz a
B=\frac{c-d}{3}, \quad A=c-B=\frac{2c+d}{3}.
Logo
y(x)=\frac{2c+d}{3}\,x \;+\;\frac{c-d}{3}\,x^{-2}.

Passo 6

Para que y(x) seja limitada em (0,1], deve desaparecer o termo singular x^{-2}. Ou seja
\frac{c-d}{3}=0 \quad\Longrightarrow\quad d=c.
Sob essa condição y(x)=c\,x é limitada em (0,1].

Resposta

As condições para a solução ser limitada em (0,1] são d=c.

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