A equação de Euler
x^{2} y^{\prime \prime}(x)+2 x y^{\prime}(x)-2 y(x)=0, \quad x>0
aparece no estudo da temperatura de uma chapa circular. Uma questão importante é verificar se essa equação possui soluções limitadas em
(0,1], isto é, soluções
y(x) tais que, para algum
K>0, tem-se
|y(x)| \leq K \forall x \in(0,1]. Neste sentido, apesar de não serem constantes, os coeficientes têm uma simetria que sugere soluções na forma indicada a seguir.
a) Verifique que a equação é linear, isto é, que se
y_{0}(x) e
y_{1}(x) são soluções e
a e
b são constantes, então
y(x)=a y_{0}(x)+b y_{1}(x) é também solução da equação.
b) Verifique que existem soluções na forma
y(x)=x^{r}, desde que
r seja raiz de um polinômio do segundo grau. Calcule essas raízes e as soluções correspondentes.
c) Use os itens anteriores para obter uma solução que satisfaz
y(1)=1 e
y^{\prime}(1)=4.
d) Em geral, obtenha solução que satisfaz
y(1)=c e
y^{\prime}(1)=d, com
c e
d constantes.
e) Determine condições em
c e
d para que a solução acima seja limitada em
(0,1].