Suponha que f(2)=-3, g(2)=4, f^{\prime}(2)=-2 e g^{\prime}(2)=7. Encontre h^{\prime}(2).
h(x)=\frac{g(x)}{1+f(x)}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações em x=2: \,f(2)=-3, \,g(2)=4, \,f'(2)=-2 e \,g'(2)=7.
A função é
h(x)=\frac{g(x)}{1+f(x)}.
O conteúdo a usar é a regra do quociente para derivadas.

Passo 2

Aplique a regra do quociente: se h(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}, então
h'(x) =\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}}.
Aqui u(x)=g(x) e v(x)=1+f(x).

Passo 3

Escreva h'(x) em termos de f, g e suas derivadas:
h'(x) =\frac{g'(x)\,(1+f(x))-g(x)\,f'(x)}{\bigl(1+f(x)\bigr)^{2}}.

Passo 4

Agora substitua x=2. Temos 1+f(2)=1+(-3)=-2.
No numerador:
g'(2)\,(1+f(2))-g(2)\,f'(2) =7\cdot(-2)-4\cdot(-2) =-14+8=-6.

Passo 5

No denominador fica
\bigl(1+f(2)\bigr)^{2}=(-2)^{2}=4.
Portanto
h'(2)=\frac{-6}{4}=-\frac{3}{2}.

Resposta

h'(2)=-\frac{3}{2}.

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