Resolva as seguintes equações diferenciais.
y^{\prime}=x(y+1), y(0)=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem com condição inicial
y' = x\,(y+1),\quad y(0)=0.
Este é um caso típico de equação separável, pois podemos escrever y' em função de y+1 e de x.

Passo 2

Reescrevendo y'=\frac{dy}{dx}, temos
\frac{dy}{dx} = x\,(y+1).
Agora isolamos as variáveis y e x em lados opostos:
\frac{dy}{y+1} = x\,dx.

Passo 3

Integramos ambos os lados:
\int \frac{1}{y+1}\,dy = \int x\,dx
\ln\lvert y+1\rvert = \frac{x^2}{2} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Como em x=0 temos y(0)=0, logo y+1>0 próximo à condição inicial e podemos dispensar o valor absoluto. Assim,
\ln(y+1) = \frac{x^2}{2} + C \quad\Longrightarrow\quad y+1 = K\,e^{\,x^2/2},
onde K = e^C. Portanto
y(x) = K\,e^{\,x^2/2} - 1.

Passo 5

Aplicando y(0)=0 em y(0)=K\,e^{0}-1 obtemos
0 = K - 1 \quad\Longrightarrow\quad K = 1.
Substituindo em y(x), chega-se à solução particular.

Resposta

y(x) = e^{\,x^2/2} - 1.

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