Suponha que f(2)=-3, g(2)=4, f^{\prime}(2)=-2 e g^{\prime}(2)=7. Encontre h^{\prime}(2).
h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}

Passo 1

O enunciado dá as informações \;f(2)=-3,\;g(2)=4,\;f'(2)=-2 e \;g'(2)=7, e pede a derivada de
h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}
avaliada em x=2. O conteúdo necessário é a regra do quociente para derivadas.

Passo 2

Pela regra do quociente, a derivada de h(x)=\frac{f(x)}{g(x)} é
h'(x)=\frac{f'(x)\,g(x)-f(x)\,g'(x)}{\bigl(g(x)\bigr)^{2}}.

Passo 3

Agora substituímos x=2 na fórmula de h'(x). Primeiro calculamos o numerador:
f'(2)\,g(2)-f(2)\,g'(2) =(-2)\cdot 4 - \bigl(-3\bigr)\cdot 7 =-8 + 21 =13.

Passo 4

Em seguida, o denominador em x=2 é
\bigl(g(2)\bigr)^{2} =4^{2} =16.
Logo,
h'(2)=\frac{13}{16}.

Resposta

\displaystyle \frac{13}{16}

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