Encontre a inclinação da reta tangente à curva paramétrica
\left\{\begin{array}{l} x(t)=t / 2 \\\ y(t)=t^{p}+1 \end{array},\right.
em t=-1 e t=1 sem eliminar o parâmetro p.

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
\begin{cases} x(t)=\tfrac{t}{2},\\\ y(t)=t^{p}+1, \end{cases}
e pede a inclinação da reta tangente em t=-1 e em t=1. O conteúdo envolve derivadas de funções paramétricas, em que usamos a fórmula
\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}.

Passo 2

Vamos calcular separadamente \frac{dx}{dt} e \frac{dy}{dt}.
A partir de x(t)=\tfrac{t}{2}, temos
\frac{dx}{dt}=\tfrac{d}{dt}\bigl(\tfrac{t}{2}\bigr)=\tfrac12.
Para y(t)=t^{p}+1, usamos a regra do poder:
\frac{dy}{dt}=\frac{d}{dt}\bigl(t^{p}\bigr)+\frac{d}{dt}(1) =p\,t^{\,p-1}+0 =p\,t^{\,p-1}.

Passo 3

Substituindo em
\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} =\frac{p\,t^{\,p-1}}{\tfrac12}
e simplificando o dividendo por \tfrac12, obtemos
\frac{dy}{dx}=2\,p\,t^{\,p-1}.

Passo 4

Agora basta avaliar em t=-1 e em t=1:
\left.\frac{dy}{dx}\right|_{t=-1} =2\,p\,(-1)^{\,p-1}, \qquad \left.\frac{dy}{dx}\right|_{t=1} =2\,p\,(1)^{\,p-1}=2\,p.

Resposta

Inclinação em t=-1: 2\,p\,(-1)^{\,p-1}.
Inclinação em t=1: 2\,p.

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