Atenção: esta questão é discursiva.
Utilizando as fórmulas de redução de potência, reescreva a expressão abaixo eliminando potências de seno ou cosseno maiores que um.
\operatorname{sen}^{4}\left(\frac{x}{2}\right) .

Passo 1

O enunciado pede para reescrever
\operatorname{sen}^{4}\!\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr)
eliminando potências de seno ou cosseno maiores que um, usando fórmulas de redução de potência. Vamos precisar de
\operatorname{sen}^2\alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}
e de
\cos^2\alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}\,.

Passo 2

Aplicamos a redução de potência à primeira potência quadrada:
\operatorname{sen}^2\!\Bigl(\tfrac{x}{2}\Bigr) = \frac{1 - \cos\bigl(2\cdot \tfrac{x}{2}\bigr)}{2} = \frac{1 - \cos(x)}{2}\,.

Passo 3

Agora elevamos ao quadrado para obter \operatorname{sen}^4:
\operatorname{sen}^{4}\!\Bigl(\tfrac{x}{2}\Bigr) =\Bigl[\operatorname{sen}^2\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\Bigr]^2 =\Bigl(\frac{1 - \cos(x)}{2}\Bigr)^2 = \frac{1 - 2\cos(x) + \cos^2(x)}{4}\,.

Passo 4

Usamos a fórmula de redução em \cos^2(x):
\cos^2(x)=\frac{1 + \cos(2x)}{2}\,.
Substituindo em
\dfrac{1 - 2\cos(x) + \cos^2(x)}{4} temos
\frac{1 - 2\cos(x) + \frac{1 + \cos(2x)}{2}}{4} = \frac{\frac{3}{2} - 2\cos(x) + \frac{1}{2}\cos(2x)}{4} = \frac{3}{8} - \frac{1}{2}\cos(x) + \frac{1}{8}\cos(2x).

Resposta

\operatorname{sen}^{4}\!\Bigl(\tfrac{x}{2}\Bigr) = \frac{3}{8} \;-\;\frac{1}{2}\cos(x)\;+\;\frac{1}{8}\cos(2x).

Exercícios relacionados