Atenção: Em todas as questões abaixo, justifique suas respostas exibindo todos os seus cálculos.
Considere a função f: R^2 R dada por
f(x, y)=cc x y^3x^2+y^2, & (x, y) neq(0,0) 0, & (x, y)=(0,0)
A função f é diferenciável em R^2 ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem uma função f: R^2 R que é definida de forma diferente no ponto (0,0) e em todos os outros pontos do plano. A pergunta é: essa função é diferenciável em todo o espaço R^2?
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável. Basicamente, uma função é diferenciável em um ponto se ela tem derivadas parciais nesse ponto e se a aproximação linear dela nesse ponto é uma boa aproximação da função perto desse ponto. Vamos verificar isso, especialmente no ponto (0,0), já que fora dele a função é bem comportada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para uma função ser diferenciável em um ponto, ela precisa ser contínua nesse ponto. Então, vamos verificar se f(x, y) é contínua em (0,0).
Calculamos o limite de f(x, y) quando (x, y) se aproxima de (0,0):
lim(x, y) to (0,0) x y^3x^2+y^2
Vamos usar coordenadas polares para facilitar. Substituímos x = r cos theta e y = r sin theta :
f(r, theta) = r cos theta cdot (r sin theta)^3r^2 cos^2 theta + r^2 sin^2 theta = r cos theta cdot r^3 sin^3 thetar^2 = r^2 cos theta sin^3 theta
Agora, o limite quando r to 0 de r^2 cos theta sin^3 theta é 0, porque r^2 tende a 0.
Então, lim(x, y) to (0,0) f(x, y) = 0 = f(0,0) . Portanto, a função é contínua em (0,0).

Passo 3

Agora, vamos verificar as derivadas parciais de f em (0,0). As derivadas parciais são:
fx(0,0) = limh to 0 f(h, 0) - f(0,0)h = limh to 0 0 - 0h = 0
fy(0,0) = limk to 0 f(0, k) - f(0,0)k = limk to 0 0 - 0k = 0
Então, as derivadas parciais em (0,0) existem e são iguais a 0.

Passo 4

Com as derivadas parciais existentes, precisamos verificar se a função é diferenciável em (0,0). Para isso, usamos a definição de diferenciabilidade:
lim(h,k) to (0,0) f(h,k) - f(0,0) - fx(0,0)h - fy(0,0)kraizh^2+k^2 = 0
Como f(0,0) = 0 e fx(0,0) = fy(0,0) = 0 , a expressão simplifica para:
lim(h,k) to (0,0) f(h,k)raizh^2+k^2
Vamos calcular esse limite usando novamente coordenadas polares:
f(r cos theta, r sin theta)r = r^2 cos theta sin^3 thetar = r cos theta sin^3 theta
Agora, quando r to 0 , r cos theta sin^3 theta to 0 . Então, o limite é 0.

Resposta

Sim, a função f é diferenciável em R^2.

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