Atenção: Em todas as questões abaixo, justifique suas respostas exibindo todos os seus cálculos.
Considere a função dada por
A função f é diferenciável em R^2 ?
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem uma função f: R^2 R que é definida de forma diferente no ponto (0,0) e em todos os outros pontos do plano. A pergunta é: essa função é diferenciável em todo o espaço R^2?
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável. Basicamente, uma função é diferenciável em um ponto se ela tem derivadas parciais nesse ponto e se a aproximação linear dela nesse ponto é uma boa aproximação da função perto desse ponto. Vamos verificar isso, especialmente no ponto (0,0), já que fora dele a função é bem comportada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para uma função ser diferenciável em um ponto, ela precisa ser contínua nesse ponto. Então, vamos verificar se f(x, y) é contínua em (0,0).
Calculamos o limite de f(x, y) quando (x, y) se aproxima de (0,0):
lim(x, y) to (0,0) x y^3x^2+y^2
Vamos usar coordenadas polares para facilitar. Substituímos x = r cos theta e y = r sin theta :
f(r, theta) = r cos theta cdot (r sin theta)^3r^2 cos^2 theta + r^2 sin^2 theta = r cos theta cdot r^3 sin^3 thetar^2 = r^2 cos theta sin^3 theta
Agora, o limite quando r to 0 de r^2 cos theta sin^3 theta é 0, porque r^2 tende a 0.
Então, lim(x, y) to (0,0) f(x, y) = 0 = f(0,0) . Portanto, a função é contínua em (0,0).
Passo 3
Agora, vamos verificar as derivadas parciais de f em (0,0). As derivadas parciais são:
fx(0,0) = limh to 0 f(h, 0) - f(0,0)h = limh to 0 0 - 0h = 0
fy(0,0) = limk to 0 f(0, k) - f(0,0)k = limk to 0 0 - 0k = 0
Então, as derivadas parciais em (0,0) existem e são iguais a 0.
Passo 4
Com as derivadas parciais existentes, precisamos verificar se a função é diferenciável em (0,0). Para isso, usamos a definição de diferenciabilidade: