Atenção: Em todas as questões abaixo, justifique suas respostas exibindo todos os seus cálculos.
Dada f: R^2 R. Defina diferenciabilidade em um ponto P= (x0, y0) in R^2. Enuncie um critério que garanta que (sob algumas hipóteses) f é diferenciável.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente definir o que significa uma função ser diferenciável em um ponto específico P = (x0, y0) no plano R^2. Além disso, temos que apresentar um critério que, sob certas condições, garante que a função é diferenciável nesse ponto. Vamos precisar entender alguns conceitos básicos de cálculo multivariável para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre diferenciabilidade. Imagine que você tem uma função que leva pontos de um plano bidimensional R^2 para a reta R. Dizemos que essa função é diferenciável em um ponto P = (x0, y0) se ela pode ser bem aproximada por um plano tangente perto desse ponto.
Isso significa que, se você pegar um ponto bem próximo de P , a diferença entre o valor da função nesse ponto e o valor dado pelo plano tangente é muito pequena, de uma ordem maior que a distância do ponto a P . Em termos matemáticos, isso se traduz na existência de derivadas parciais que se comportam de maneira linear perto de P .

Passo 3

Agora, para determinar se uma função é diferenciável em um ponto, podemos olhar para suas derivadas parciais. As derivadas parciais em relação a x e y nos dizem como a função muda quando movemos apenas na direção x ou y , respectivamente.
Um critério comum para garantir a diferenciabilidade é o seguinte:
  • Se as derivadas parciais de f existirem em P = (x0, y0) e forem contínuas nesse ponto, então f é diferenciável em P .
Essa condição é bastante útil porque, muitas vezes, verificar a existência e continuidade das derivadas parciais é mais fácil do que diretamente verificar a definição de diferenciabilidade.

Passo 4

Vamos detalhar um pouco mais esse critério. Existência das derivadas parciais significa que conseguimos calcular como a função se comporta quando mudamos apenas x ou apenas y em P . Continuidade das derivadas garante que essas taxas de variação não mudam de repente perto de P , o que facilita a aproximação linear da função.
Portanto, se conseguimos garantir que as derivadas parciais não só existem, mas também são contínuas no ponto P , isso implica que a função não tem “vários braços” ou comportamentos erráticos naquele ponto, e assim, se comporta de maneira suave o suficiente para ser diferenciável.

Resposta

Em resumo, uma função f: R^2 R é diferenciável em um ponto P = (x0, y0) se ela pode ser bem aproximada por um plano tangente nesse ponto. Um critério que garante que f é diferenciável em P é que as derivadas parciais de f em relação a x e y existam e sejam contínuas em P .

Exercícios relacionados