Atenção: Em todas as questões abaixo, justifique suas respostas exibindo todos os seus cálculos.
Dada
. Defina diferenciabilidade em um ponto
. Enuncie um critério que garanta que (sob algumas hipóteses)
é diferenciável.
Dada
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente definir o que significa uma função ser diferenciável em um ponto específico
no plano
. Além disso, temos que apresentar um critério que, sob certas condições, garante que a função é diferenciável nesse ponto. Vamos precisar entender alguns conceitos básicos de cálculo multivariável para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre diferenciabilidade. Imagine que você tem uma função que leva pontos de um plano bidimensional
para a reta
. Dizemos que essa função é diferenciável em um ponto
se ela pode ser bem aproximada por um plano tangente perto desse ponto.
Isso significa que, se você pegar um ponto bem próximo de
, a diferença entre o valor da função nesse ponto e o valor dado pelo plano tangente é muito pequena, de uma ordem maior que a distância do ponto a
. Em termos matemáticos, isso se traduz na existência de derivadas parciais que se comportam de maneira linear perto de
.
Passo 3
Agora, para determinar se uma função é diferenciável em um ponto, podemos olhar para suas derivadas parciais. As derivadas parciais em relação a
e
nos dizem como a função muda quando movemos apenas na direção
ou
, respectivamente.
Um critério comum para garantir a diferenciabilidade é o seguinte:
- Se as derivadas parciais de
existirem em e forem contínuas nesse ponto, então é diferenciável em .
Essa condição é bastante útil porque, muitas vezes, verificar a existência e continuidade das derivadas parciais é mais fácil do que diretamente verificar a definição de diferenciabilidade.
Passo 4
Vamos detalhar um pouco mais esse critério. Existência das derivadas parciais significa que conseguimos calcular como a função se comporta quando mudamos apenas
ou apenas
em
. Continuidade das derivadas garante que essas taxas de variação não mudam de repente perto de
, o que facilita a aproximação linear da função.
Portanto, se conseguimos garantir que as derivadas parciais não só existem, mas também são contínuas no ponto
, isso implica que a função não tem “vários braços” ou comportamentos erráticos naquele ponto, e assim, se comporta de maneira suave o suficiente para ser diferenciável.
Resposta
Em resumo, uma função
é diferenciável em um ponto
se ela pode ser bem aproximada por um plano tangente nesse ponto. Um critério que garante que
é diferenciável em
é que as derivadas parciais de
em relação a
e
existam e sejam contínuas em
.