Defina funções alpha:(a, b) R^2 de modo que seus traços sejam os conjuntos indicados abaixo. Esboce essas curvas e indique um domínio para alpha em cada caso.
A=(x, y) in Re^2 ; y=x^2+1 ;-1 <= x <= 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente definir funções alpha: (a, b) R^2 cujos traços sejam os conjuntos indicados. No caso, estamos trabalhando com a parábola A = (x, y) in R^2 ; y = x^2 + 1 ; -1 <= x <= 2 . Isso está dentro do conteúdo de parametrização de curvas no plano. Para resolver, vamos precisar definir uma função que mapeie um intervalo (a, b) para os pontos dessa parábola.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa parametrizar uma curva. Parametrizar uma curva alpha(t) significa expressar as coordenadas x e y em função de uma variável t, que geralmente representa o tempo. Assim, alpha(t) = (x(t), y(t)).
Para a nossa parábola y = x^2 + 1, podemos escolher x como nossa variável t. Isso simplifica as coisas porque y já está expressa em termos de x.

Passo 3

Então, definimos nossa função alpha(t) da seguinte maneira:
alpha(t) = (t, t^2 + 1)
Aqui, x(t) = t e y(t) = t^2 + 1. Dessa forma, para cada valor de t, a função gera um ponto na parábola.

Passo 4

Agora, precisamos determinar o domínio (a, b) para t. Observando o enunciado, x varia de -1 a 2. Como escolhemos x(t) = t, o intervalo para t será o mesmo:
t in [-1, 2]
Portanto, o domínio da função alpha é [-1, 2].

Resposta

A função definida é alpha(t) = (t, t^2 + 1) com domínio t in [-1, 2].

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