Atenção: Em todas as questões abaixo, justifique suas respostas exibindo todos os seus cálculos.
Seja Calcule , onde . Interprete geometricamente. Escolha uma superfície de nível de (a sua favorita) e determine as equações do plano tangente e da reta normal à tal superfície de nível, em um determinado ponto .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem a função e a tarefa é calcular o gradiente dessa função no ponto . Depois, vamos interpretar o resultado geometricamente, escolher uma superfície de nível de que a gente goste e encontrar as equações do plano tangente e da reta normal a essa superfície no ponto escolhido.
Passo 2
Vamos começar calculando o gradiente de . O gradiente, representado por , é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a cada variável. Ou seja:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Derivada parcial em relação a :
Derivada parcial em relação a :
Derivada parcial em relação a :
Então, o gradiente fica:
Passo 4
Agora, vamos calcular no ponto . Substituindo , e na expressão do gradiente:
Passo 5
Interpretação Geométrica:
O gradiente aponta na direção de maior aumento da função naquele ponto e é perpendicular à superfície de nível de passando por . No nosso caso, a superfície de nível é uma esfera com raio 3 centrada na origem, já que .
Escolhi essa superfície de nível porque ela é uma esfera, que é fácil de visualizar e trabalhar.
Passo 6
Equação do Plano Tangente:
A equação do plano tangente a uma superfície no ponto pode ser escrita usando o gradiente:
Onde . Substituindo e :
Então, a equação do plano tangente é .
Passo 7
Equação da Reta Normal:
A reta normal à superfície no ponto tem direção dada pelo gradiente. Então, usando as coordenadas de e o gradiente, a equação paramétrica da reta normal é:
Ou seja:
x = 0, y = 3 + 6t, z = 0
Resposta
O gradiente de f no ponto P0 = (0, 3, 0) é nabla f(P0) = (0, 6, 0) . Geometricamente, esse vetor é perpendicular à superfície de nível escolhida (a esfera x^2 + y^2 + z^2 = 9 ) no ponto P0 . A equação do plano tangente à esfera neste ponto é y = 3 e a equação da reta normal é x = 0 , y = 3 + 6t , z = 0 .