Atenção: Em todas as questões abaixo, justifique suas respostas exibindo todos os seus cálculos.
Seja f(x, y, z)=x^2+y^2+z^2-9 Calcule nabla f(P0), onde P0=(0,3,0). Interprete geometricamente. Escolha uma superfície de nível de f (a sua favorita) e determine as equações do plano tangente e da reta normal à tal superfície de nível, em um determinado ponto P.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem a função f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 - 9 e a tarefa é calcular o gradiente dessa função no ponto P0 = (0, 3, 0) . Depois, vamos interpretar o resultado geometricamente, escolher uma superfície de nível de f que a gente goste e encontrar as equações do plano tangente e da reta normal a essa superfície no ponto escolhido.

Passo 2

Vamos começar calculando o gradiente de f . O gradiente, representado por nabla f , é um vetor que contém as derivadas parciais de f em relação a cada variável. Ou seja:
nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y, partial fpartial z )
Vamos calcular cada uma dessas derivadas.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
  1. Derivada parcial em relação a x :
partial fpartial x = 2x
  1. Derivada parcial em relação a y :
partial fpartial y = 2y
  1. Derivada parcial em relação a z :
partial fpartial z = 2z
Então, o gradiente fica:
nabla f = (2x, 2y, 2z)

Passo 4

Agora, vamos calcular nabla f no ponto P0 = (0, 3, 0) . Substituindo x = 0 , y = 3 e z = 0 na expressão do gradiente:
nabla f(P0) = (2 cdot 0, 2 cdot 3, 2 cdot 0) = (0, 6, 0)

Passo 5

Interpretação Geométrica:
O gradiente nabla f(P0) = (0, 6, 0) aponta na direção de maior aumento da função f naquele ponto e é perpendicular à superfície de nível de f passando por P0 . No nosso caso, a superfície de nível é uma esfera com raio 3 centrada na origem, já que x^2 + y^2 + z^2 = 9 .
Escolhi essa superfície de nível porque ela é uma esfera, que é fácil de visualizar e trabalhar.

Passo 6

Equação do Plano Tangente:
A equação do plano tangente a uma superfície no ponto P pode ser escrita usando o gradiente:
nabla f(P) cdot (X - P) = 0
Onde X = (x, y, z) . Substituindo nabla f(P0) = (0, 6, 0) e P0 = (0, 3, 0) :
0(x - 0) + 6(y - 3) + 0(z - 0) = 0
6(y - 3) = 0 Rightarrow y = 3
Então, a equação do plano tangente é y = 3 .

Passo 7

Equação da Reta Normal:
A reta normal à superfície no ponto P0 tem direção dada pelo gradiente. Então, usando as coordenadas de P0 e o gradiente, a equação paramétrica da reta normal é:
x = 0 + 0 cdot t = 0 y = 3 + 6 cdot t z = 0 + 0 cdot t = 0
Ou seja:
x = 0, y = 3 + 6t, z = 0

Resposta

O gradiente de f no ponto P0 = (0, 3, 0) é nabla f(P0) = (0, 6, 0) . Geometricamente, esse vetor é perpendicular à superfície de nível escolhida (a esfera x^2 + y^2 + z^2 = 9 ) no ponto P0 . A equação do plano tangente à esfera neste ponto é y = 3 e a equação da reta normal é x = 0 , y = 3 + 6t , z = 0 .

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