Defina funções
de modo que seus traços sejam os conjuntos indicados abaixo. Esboce essas curvas e indique um domínio para
em cada caso.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa definir funções paramétricas
cujo conjunto de pontos (ou traço) seja a reta
. Para isso, vamos usar conceitos de funções paramétricas e geometria analítica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação da reta
. Essa é a forma geral de uma reta no plano, onde podemos resolver para
em função de
ou vice-versa. Vamos resolver para
:
Isso nos dá uma maneira de expressar
em termos de
.
Passo 3
Agora, para definir uma função paramétrica
, precisamos expressar
e
em termos de um parâmetro
. Uma abordagem comum é deixar
igual a
, então:
E substituindo na equação da reta:
Então, nossa primeira função paramétrica é:
Passo 4
Outra maneira de parametrizar a reta é deixar
igual a
. Vamos fazer isso:
Substituindo na equação da reta:
Portanto, a segunda função paramétrica é:
Passo 5
Agora, vamos escolher os domínios para cada uma dessas parametrizações. No caso da primeira função, onde
, não há restrições específicas para
, já que a reta se estende infinitamente em ambas as direções. Então, podemos escolher:
O mesmo vale para a segunda parametrização, onde
. Assim, o domínio também será:
Passo 6
Por fim, sobre esboçar as curvas: ambas as funções paramétricas representam a mesma reta
. Ao plotar, você perceberá que, independentemente da parametrização escolhida, a linha será a mesma, apenas percorrida de diferentes maneiras conforme o parâmetro
varia.
Resposta
Duas funções paramétricas que satisfazem a condição são:
Essas parametrizações representam a reta
e têm domínio definido para todos os números reais.