Defina funções alpha:(a, b) R^2 de modo que seus traços sejam os conjuntos indicados abaixo. Esboce essas curvas e indique um domínio para alpha em cada caso.
C=(x, y) in Re^2 ; 4 x+3 y=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa definir funções paramétricas alpha:(a, b) R^2 cujo conjunto de pontos (ou traço) seja a reta C = (x, y) in R^2 ; 4x + 3y = 1. Para isso, vamos usar conceitos de funções paramétricas e geometria analítica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação da reta 4x + 3y = 1. Essa é a forma geral de uma reta no plano, onde podemos resolver para y em função de x ou vice-versa. Vamos resolver para y:
3y = 1 - 4x y = 1 - 4x3
Isso nos dá uma maneira de expressar y em termos de x.

Passo 3

Agora, para definir uma função paramétrica alpha(t) = (x(t), y(t)), precisamos expressar x e y em termos de um parâmetro t. Uma abordagem comum é deixar x igual a t, então:
x(t) = t
E substituindo na equação da reta:
y(t) = 1 - 4t3
Então, nossa primeira função paramétrica é:
alpha(t) = (t, 1 - 4t3)

Passo 4

Outra maneira de parametrizar a reta é deixar y igual a t. Vamos fazer isso:
y(t) = t
Substituindo na equação da reta:
4x + 3t = 1 4x = 1 - 3t x(t) = 1 - 3t4
Portanto, a segunda função paramétrica é:
alpha(t) = (1 - 3t4,, t)

Passo 5

Agora, vamos escolher os domínios para cada uma dessas parametrizações. No caso da primeira função, onde x(t) = t, não há restrições específicas para t, já que a reta se estende infinitamente em ambas as direções. Então, podemos escolher:
a = -infty b = +infty
O mesmo vale para a segunda parametrização, onde y(t) = t. Assim, o domínio também será:
a = -infty b = +infty

Passo 6

Por fim, sobre esboçar as curvas: ambas as funções paramétricas representam a mesma reta 4x + 3y = 1. Ao plotar, você perceberá que, independentemente da parametrização escolhida, a linha será a mesma, apenas percorrida de diferentes maneiras conforme o parâmetro t varia.

Resposta

Duas funções paramétricas que satisfazem a condição são:
alpha(t) = (t,, 1 - 4t3) com t in R
alpha(t) = (1 - 3t4,, t) com t in R
Essas parametrizações representam a reta 4x + 3y = 1 e têm domínio definido para todos os números reais.

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