Defina funções alpha:(a, b) R^2 de modo que seus traços sejam os conjuntos indicados abaixo. Esboce essas curvas e indique um domínio para alpha em cada caso.
D=(x, y) in R^2 ; x^2+4 y^2=4

Passo 1

O enunciado pede para parametrizar a curva
D=(x,y)inR^2:;x^2+4y^2=4,
ou seja, definir alpha:(a,b)toR^2 cujo traço seja exatamente essa elipse. O conteúdo é parametrização de elipses usando funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro colocamos a equação na forma canônica dividindo por 4:
x^24 + y^21 = 1
Dessa forma identificamos os semi-eixos a=2 (eixo x) e b=1 (eixo y).

Passo 3

A parametrização padrão de uma elipse com esses semi-eixos é
x = acos t, y = bsin t
Logo podemos definir
alpha(t) = l(2cos t,;sin tr)

Passo 4

Para percorrer toda a elipse exatamente uma vez, sem repetições imediatas, escolhemos o domínio
tin(0,2pi)
Nesse intervalo alpha é contínua e seu traço é todo o conjunto D.

Passo 5

O esboço é uma elipse centrada na origem, com vértices em (pm2,0) e em (0,pm1). À medida que t varia de 0 a 2pi, o ponto alpha(t) descreve a curva no sentido anti-horário.

Resposta

alpha : (0,2pi) to R^2, alpha(t) = l(2cos t,; sin tr),
cujo traço é exatamente
(x,y) in R^2 : x^2 + 4y^2 = 4.
Domínio sugerido: (0,2pi).

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