(2,5 pt) Atençõ: neste problema, todos os valores numéricos são dados no Sistema Internacional (portanto, não é necessário fazer nenhuma conversão de unidades). Um bloco de massa 1 kg desliza sobre um eixo horizontal, preso a uma mola de constante elástica 49 \mathrm{~N} / \mathrm{m}. O bloco sofre a força de atrito numericamente igual a 14 vezes a velocidade do bloco num dado instante e está sujeito a uma força periódica externa F(t)=8 e^{7 t}. Inicialmente o bloco encontra-se em repouso deslocado em 0,2 m da posição do equilíbrio.
(a) Escreva o PVI (equação diferencial e condições iniciais) que descreve a posição x(t) do bloco em função do tempo.
(b) Encontre a solução deste PVI.

Passo 1

O enunciado descreve um oscilador massa-mola com amortecimento viscoso e forçamento externo. A equação geral é
m\,x''(t) + c\,x'(t) + k\,x(t) = F(t),
onde m é a massa, c o coeficiente de amortecimento, k a constante elástica e F(t) a força externa. Aqui temos m=1, c=14, k=49 e F(t)=8e^{7t}. As condições iniciais são x(0)=0,2 (deslocamento inicial) e x'(0)=0 (bloco em repouso).

Passo 2

Substituindo os valores obtidos, o PVI fica
x''(t) + 14\,x'(t) + 49\,x(t) = 8\,e^{7t}, \quad x(0)=0,2,\quad x'(0)=0.

Passo 3

Para a parte homogênea consideramos
x'' + 14x' + 49x = 0.
A equação característica é
r^2 + 14r + 49 = 0 \quad\Longrightarrow\quad (r+7)^2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad r = -7\\ (\text{dupla}).
Logo a solução homogênea é
x_h(t) = \bigl(C_1 + C_2\,t\bigr)\,e^{-7t}.

Passo 4

Para a solução particular, tentamos x_p(t)=A\,e^{7t}. Assim
x_p' = 7A\,e^{7t}, \quad x_p'' = 49A\,e^{7t},
e substituindo em x''+14x'+49x=8e^{7t}
49A + 14\cdot7A +49A = 8 \quad\Longrightarrow\quad 196A = 8 \quad\Longrightarrow\quad A = \tfrac{2}{49}.
Portanto
x_p(t) = \frac{2}{49}\,e^{7t}.

Passo 5

A solução geral é
x(t) = x_h(t) + x_p(t) = \bigl(C_1 + C_2\,t\bigr)e^{-7t} + \frac{2}{49}\,e^{7t}.
Precisamos agora ajustar C_1 e C_2 pelas condições iniciais.

Passo 6

Calculamos x'(t):
x'(t) = \bigl(C_2 -7(C_1 + C_2\,t)\bigr)e^{-7t} + \frac{2}{49}\cdot7\,e^{7t} = \bigl(C_2 -7C_1 -7C_2\,t\bigr)e^{-7t} + \frac{2}{7}\,e^{7t}.
Em t=0 exige-se x(0)=0,2 e x'(0)=0:
- x(0)=C_1 + \tfrac{2}{49}=0,2 \Rightarrow C_1=0,2-\tfrac{2}{49}=\tfrac{39}{245}.
- x'(0)=C_2 -7C_1 +\tfrac{2}{7}=0 \Rightarrow
C_2 = 7C_1 - \frac{2}{7} = 7\cdot\frac{39}{245} - \frac{2}{7} = \frac{273}{245} - \frac{70}{245} = \frac{203}{245} = \frac{29}{35}.

Resposta

(a) O PVI é
x'' + 14\,x' + 49\,x = 8\,e^{7t}, \quad x(0)=0,2,\quad x'(0)=0.
(b) A solução desse PVI é
x(t) =\Bigl(\frac{39}{245} + \frac{29}{35}\,t\Bigr)e^{-7t} + \frac{2}{49}\,e^{7t}.

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