(2,5 pt) Atençõ: neste problema, todos os valores numéricos são dados no Sistema Internacional (portanto, não é necessário fazer nenhuma conversão de unidades). Um bloco de massa 1 kg desliza sobre um eixo horizontal, preso a uma mola de constante elástica
. O bloco sofre a força de atrito numericamente igual a 14 vezes a velocidade do bloco num dado instante e está sujeito a uma força periódica externa
. Inicialmente o bloco encontra-se em repouso deslocado em
da posição do equilíbrio.
(a) Escreva o PVI (equação diferencial e condições iniciais) que descreve a posição
do bloco em função do tempo.
(b) Encontre a solução deste PVI.
(a) Escreva o PVI (equação diferencial e condições iniciais) que descreve a posição
(b) Encontre a solução deste PVI.
Passo 1
O enunciado descreve um oscilador massa-mola com amortecimento viscoso e forçamento externo. A equação geral é
onde
é a massa,
o coeficiente de amortecimento,
a constante elástica e
a força externa. Aqui temos
,
,
e
. As condições iniciais são
(deslocamento inicial) e
(bloco em repouso).
Passo 2
Substituindo os valores obtidos, o PVI fica
Passo 3
Para a parte homogênea consideramos
A equação característica é
Logo a solução homogênea é
Passo 4
Para a solução particular, tentamos
. Assim
e substituindo em
dá
Portanto
Passo 5
A solução geral é
Precisamos agora ajustar
e
pelas condições iniciais.
Passo 6
Calculamos
:
Em
exige-se
e
:
-
-
-
-
Resposta
(a) O PVI é
(b) A solução desse PVI é