(2,5 \mathrm{pt}) Resolve o problema do valor de contorno
x^{2} y^{\prime \prime}-9 x y^{\prime}+21 y=0, \quad y(1)=2, \quad y(2)=1 .

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor de contorno
x^{2}y''-9x\,y'+21y=0,\quad y(1)=2,\quad y(2)=1.
Este é uma equação diferencial de Euler–Cauchy, onde usamos o ansatz y=x^{m} para obter o polinômio característico e depois aplicamos as condições de contorno para achar as constantes.

Passo 2

Assumindo y=x^{m}, temos
y'=m\,x^{m-1},\quad y''=m(m-1)\,x^{m-2}.
Substituindo na equação diferencial:
x^{2}\bigl[m(m-1)x^{m-2}\bigr]-9x\bigl[mx^{m-1}\bigr]+21x^{m}=0
que simplifica para o polinômio característico
m(m-1)-9m+21=0.

Passo 3

Resolvendo
m^{2}-m-9m+21=0\quad\Longrightarrow\quad m^{2}-10m+21=0
temos
m=\frac{10\pm\sqrt{100-84}}{2}=\frac{10\pm4}{2}\;\Longrightarrow\;m_{1}=7,\;m_{2}=3.
Logo a solução geral é
y(x)=C_{1}x^{7}+C_{2}x^{3}.

Passo 4

Aplicando y(1)=2 e y(2)=1 obtemos o sistema
\begin{cases} C_{1}+C_{2}=2,\\\\ 128\,C_{1}+8\,C_{2}=1. \end{cases}

Passo 5

Resolvendo para C_{1} e C_{2}: da primeira equação C_{2}=2-C_{1}. Substituindo na segunda,
128C_{1}+8(2-C_{1})=1 \;\Longrightarrow\; 128C_{1}+16-8C_{1}=1 \;\Longrightarrow\; 120C_{1}=-15 \;\Longrightarrow\; C_{1}=-\tfrac{1}{8},
e assim
C_{2}=2-(-\tfrac{1}{8})=2+\tfrac{1}{8}=\tfrac{17}{8}.

Resposta

y(x)=-\tfrac{1}{8}\,x^{7}+\tfrac{17}{8}\,x^{3}.

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