(2.5 pt) Encontre a solução geral da equação,
y^{\prime \prime}+9 y=\frac{2}{\sin 3 x}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação
y''+9y=\frac{2}{\sin3x}\,,
que é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos escrever a solução como
y(x)=y_h(x)+y_p(x),
onde y_h é a solução da homogênea y''+9y=0 e y_p é uma solução particular da não–homogênea. Usaremos o método de variação de parâmetros.

Passo 2

Primeiro encontramos a solução da homogênea
y''+9y=0.
A equação característica é
r^2+9=0\quad\Rightarrow\quad r=\pm3i,
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y_h(x)=C_1\cos3x + C_2\sin3x.

Passo 3

Escolhemos as soluções fundamentais
y_1(x)=\cos3x,\quad y_2(x)=\sin3x
e escrevemos a fórmula de variação de parâmetros:
y_p=-y_1(x)\int \frac{y_2(x)\,g(x)}{W(x)}\,dx \;+\; y_2(x)\int \frac{y_1(x)\,g(x)}{W(x)}\,dx,
onde
g(x)=\frac{2}{\sin3x},
e o Wronskiano é
W(x)=\begin{vmatrix}\cos3x & \sin3x\\[6pt]-3\sin3x & 3\cos3x\end{vmatrix} =3\bigl(\cos^2 3x+\sin^2 3x\bigr)=3.]

Passo 4

Calculamos as integrais que aparecem em y_p. Primeiro
\int \frac{y_2(x)\,g(x)}{W}\,dx =\int \frac{\sin3x\cdot\frac{2}{\sin3x}}{3}\,dx =\int \frac{2}{3}\,dx =\frac{2x}{3}.
Em seguida
\int \frac{y_1(x)\,g(x)}{W}\,dx =\int \frac{\cos3x\cdot\frac{2}{\sin3x}}{3}\,dx =\frac{2}{3}\int \cot3x\,dx =\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{3}\ln\bigl|\sin3x\bigr| =\frac{2}{9}\ln\bigl|\sin3x\bigr|.

Passo 5

Agora montamos y_p:
y_p(x) =-\cos3x\cdot\frac{2x}{3} \;+\;\sin3x\cdot\frac{2}{9}\ln\bigl|\sin3x\bigr| =-\frac{2x}{3}\cos3x \;+\;\frac{2}{9}\,\sin3x\ln\bigl|\sin3x\bigr|.
Como constantes de integração absorvem-se em y_h, não precisamos adicioná-las aqui.

Resposta

A solução geral é
y(x)=C_1\cos3x + C_2\sin3x \;-\;\frac{2x}{3}\cos3x \;+\;\frac{2}{9}\,\sin3x\ln\bigl|\sin3x\bigr|.

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