(2,5 pt) Encontre a solução geral da equação diferencial,
x y^{\prime \prime}-(2 x+5) y^{\prime}+(5+x) y=0
sabendo que a sua soluçõ particular é dada por y_{1}(x)=e^{x}.

Passo 1

O enunciado dá uma equação diferencial linear de segunda ordem
x\,y''-(2x+5)\,y'+(5+x)\,y=0
e informa que uma solução particular é y_{1}(x)=e^{x}. O conteúdo aqui é “equações diferenciais ordinárias de segunda ordem” e vamos usar o método de redução de ordem para encontrar a segunda solução independente e, assim, a solução geral.

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão y''+P(x)\,y'+Q(x)\,y=0. Dividindo tudo por x (assumindo x\neq0):
y''-\Bigl(2+\frac{5}{x}\Bigr)y'+\Bigl(1+\frac{5}{x}\Bigr)y=0.
Logo,
P(x)=-2-\frac{5}{x}, \quad Q(x)=1+\frac{5}{x}.

Passo 3

No método de redução de ordem, buscamos
y_{2}(x)=y_{1}(x)\,\int \frac{e^{-\int P(x)\,dx}}{y_{1}(x)^{2}}\,dx.
Primeiro calculamos
\int P(x)\,dx=\int\Bigl(-2-\frac{5}{x}\Bigr)dx=-2x-5\ln|x|,
então
e^{-\int P(x)\,dx}=e^{2x+5\ln|x|}=e^{2x}\,x^{5}.

Passo 4

Substituindo em
\int \frac{e^{-\int P\,dx}}{y_{1}^{2}}\,dx =\int \frac{e^{2x}x^{5}}{\bigl(e^{x}\bigr)^{2}}\,dx =\int x^{5}\,dx =\frac{x^{6}}{6}+C,
fica
y_{2}(x) =e^{x}\,\frac{x^{6}}{6}.
Como constante multiplicativa não altera independência linear, podemos usar
y_{2}(x)=x^{6}e^{x}.

Passo 5

As duas soluções independentes são y_{1}(x)=e^{x} e y_{2}(x)=x^{6}e^{x}. Portanto, a solução geral da equação diferencial é
y(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}x^{6}e^{x},
com C_{1},C_{2} constantes arbitrárias.

Resposta

y(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}x^{6}e^{x}.

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